Bỏ qua

Hàm dạng và xấp xỉ phần tử hữu hạn

Để xử lý bằng tính toán dạng yếu của nguyên lý công ảo, miền vật thể được chia thành một số hữu hạn phần tử, và tọa độ điểm vật chất, chuyển vị cùng hàm thử bên trong mỗi phần tử được nội suy từ các giá trị nút và hàm dạng. Đạo hàm không gian của hàm dạng được trình bày trong Đạo hàm không gian của hàm dạng, việc rời rạc hóa dạng yếu trong Rời rạc hóa công ảo nội lực, và dạng cụ thể của hàm dạng cho từng loại phần tử trong Hệ thống đánh số phần tử và thư viện hàm dạng cùng các phần tiếp theo.

Phân chia miền và tổng tích phân theo phần tử

Miền \(\Omega_0\) trong cấu hình tham chiếu và miền \(\Omega\) trong cấu hình hiện tại lần lượt được xấp xỉ bằng hợp của các phần tử \(\Omega^e_0\) và \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) là số phần tử, và biên phần tử được dùng chung giữa các phần tử kề nhau.) Điều này phân rã các tích phân thể tích và bề mặt trong nguyên lý công ảo thành tổng các tích phân trên từng phần tử:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Điều tương tự áp dụng cho cấu hình hiện tại khi thay \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) và \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Từ đây về sau, việc đánh giá dạng yếu được quy về việc xây dựng các tích phân theo từng phần tử.

Nội suy bằng giá trị nút và hàm dạng (phần tử đẳng tham số)

Mỗi phần tử \(\Omega^e_0\) được gán \(n_e\) nút. Gọi tọa độ trong cấu hình tham chiếu và chuyển vị nút của nút phần tử \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) lần lượt là \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Các vectơ nút phần tử \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) và \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) được tạo bằng cách sắp xếp các giá trị này; đối với phần tử \(e\), chúng chỉ chứa các thành phần của các nút cấu thành phần tử, được trích từ các vectơ nút toàn cục \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) là tổng số nút).

Sử dụng tọa độ tự nhiên \(\boldsymbol{r}\), tức tọa độ cục bộ trong phần tử, làm tham số, các hàm dạng \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) nội suy tọa độ vật chất, chuyển vị và hàm thử trong phần tử bằng cùng các hàm dạng (phần tử đẳng tham số và phương pháp Galerkin):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Các hàm dạng được xây dựng để thỏa mãn hai tính chất sau, và hình học phần tử được chọn sao cho ánh xạ \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) từ tọa độ tự nhiên sang tọa độ vật chất là một-một trong phần tử:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) là điểm trong tọa độ tự nhiên tương ứng với nút \(\alpha\), và \(\delta_{\alpha\beta}\) là delta Kronecker.) Phương trình thứ nhất bảo đảm tái tạo chuyển động tịnh tiến vật rắn, còn phương trình thứ hai bảo đảm giá trị nội suy trùng với giá trị nút tại từng nút. Dạng cụ thể của \(n_e\) và \(N_\alpha^e\) cho từng loại phần tử được nêu trong Hệ thống đánh số phần tử và thư viện hàm dạng và các phần tiếp theo. Để tránh ký hiệu rườm rà, sự phụ thuộc vào loại phần tử được biểu diễn bằng chỉ số trên theo phần tử \(e\).

Với các quy tắc nội suy trên, hàm dưới dấu tích phân của dạng yếu có thể được biểu diễn chỉ theo các giá trị nút phần tử \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) và \(N_\alpha^e\). Ngược lại, biến dạng được suy ra từ chuyển vị nội suy và quan hệ biến dạng-chuyển vị, còn ứng suất được suy ra từ biến dạng đó và quan hệ cấu thành vật liệu; các đại lượng này không được nội suy trực tiếp từ giá trị nút. Chúng được đánh giá tại các điểm tích phân bên trong phần tử (Tích phân số).

Quy tắc sắp thứ tự vectơ nút toàn cục

Các đại lượng vật lý gán cho nút được sắp trong vectơ nút toàn cục theo thứ tự tăng dần số nút → bậc tự do. Nếu tại nút \(\alpha\), thành phần bậc tự do \(i\) được ký hiệu là \(u_{i\alpha}\), thì trong ba chiều (\(i=1,2,3\)) và hai chiều (\(i=1,2\)), lần lượt có

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Tọa độ \(\boldsymbol{X}^n\) và hàm thử \(\delta\boldsymbol{u}^n\) tuân theo cùng thứ tự. Từ đây về sau, các phép suy dẫn dạng ma trận và vectơ được viết với trường hợp ba chiều làm đại diện.

Chủ đề liên quan

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status