Bỏ qua

Danh sách ký hiệu đại lượng vật lý

Trang này liệt kê các ký hiệu của các đại lượng vật lý được sử dụng trong sổ tay lý thuyết FrontISTR. Về các quy ước ký hiệu (ký hiệu in đậm cho vectơ và tensor, quy ước tổng Einstein và ký hiệu Voigt), xem Ký hiệu tensor và cơ sở toán học.

Cấu hình và hệ tọa độ

Ký hiệu Mô tả
\(\boldsymbol{X}\) Vectơ vị trí của một điểm vật chất trong cấu hình tham chiếu (ban đầu) (tọa độ vật chất)
\(\boldsymbol{x}\) Vectơ vị trí của một điểm vật chất trong cấu hình hiện tại (tọa độ không gian)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Ánh xạ chuyển động: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Miền mà vật thể chiếm trong cấu hình tham chiếu
\(\Omega\) Miền mà vật thể chiếm trong cấu hình hiện tại
\(\Gamma_0\) Biên của \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Biên của \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Biên hình học (chuyển vị): biên trong cấu hình hiện tại/tham chiếu nơi \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) được chỉ định
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Biên cơ học: biên trong cấu hình hiện tại/tham chiếu nơi \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (hoặc \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) được chỉ định
\(\boldsymbol{n}\) Vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài của một bề mặt trong cấu hình hiện tại
\(\boldsymbol{N}\) Vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài của một bề mặt trong cấu hình tham chiếu
\(t\) Thời gian

Quy ước: Các đại lượng vật lý trong cấu hình tham chiếu được biểu diễn bằng chữ hoa hoặc chỉ số dưới \(0\), còn các đại lượng trong cấu hình hiện tại được biểu diễn bằng chữ thường.

Thời gian và gia số (phân tích gia tăng)

Ký hiệu Mô tả
\(\Delta t\) Gia số thời gian: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Đại lượng vật lý tại thời điểm \(t\) (chỉ số trên bên trái). Ví dụ: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) là ứng suất Cauchy tại thời điểm \(t\)
\(^{t}\Omega\) Miền của cấu hình hiện tại tại thời điểm \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Biên của cấu hình hiện tại tại thời điểm \(t\)

Quy ước: Trong phân tích gia tăng, trạng thái đến thời điểm \(t\) được coi là đã biết, còn trạng thái tại thời điểm \(t + \Delta t\) được giải như ẩn số. Chỉ số trên bên trái được lược bỏ khi không cần nêu rõ thời gian. Dạng thiết lập dùng cấu hình tham chiếu \(\Omega_0\) làm mốc được gọi là dạng Total Lagrange, còn dạng thiết lập dùng cấu hình hiện tại \(^{t}\Omega\) ở đầu gia số làm mốc được gọi là dạng Updated Lagrange.

Chuyển vị, vận tốc, gia tốc và lực khối

Ký hiệu Mô tả
\(\boldsymbol{u}\) Vectơ chuyển vị: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Chuyển vị được chỉ định trên biên hình học \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Chuyển vị ảo (hàm thử): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) trên \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Vectơ vận tốc: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Vectơ gia tốc: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Lực khối (trên một đơn vị khối lượng)
\(\boldsymbol{t}\) Vectơ lực bề mặt (trên một đơn vị diện tích): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Lực bề mặt được chỉ định trên biên cơ học \(\Gamma_t\) (dữ liệu Neumann)

Toán tử vi phân

Ký hiệu Mô tả
\(\dot{(\cdot)}\) Đạo hàm theo thời gian vật chất (đạo hàm theo thời gian đi theo cùng một điểm vật chất): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradient trong cấu hình tham chiếu (gradient theo tọa độ vật chất \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradient trong cấu hình hiện tại (gradient theo tọa độ không gian \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Toán tử gradient đối xứng: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Lưu ý: \(\nabla_X\) và \(\nabla_x\) liên hệ với nhau bởi \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Gradient không có chỉ số dưới, \(\nabla\), được dùng khi cấu hình đã rõ từ ngữ cảnh hoặc khi sự phân biệt biến mất, như trong các bài toán biến dạng nhỏ.

Tensor biến dạng

Ký hiệu Mô tả
\(\boldsymbol{F}\) Tensor gradient biến dạng: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Tỷ số thể tích: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Tensor biến dạng Cauchy-Green phải: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Tensor biến dạng Cauchy-Green trái: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Tensor gradient vận tốc: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Tensor tốc độ biến dạng (phần đối xứng của \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Tensor spin (phần phản đối xứng của \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tensor biến dạng tương đối

Ký hiệu Mô tả
\(\boldsymbol{E}\) Tensor biến dạng Green-Lagrange (cấu hình tham chiếu): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Tensor biến dạng Almansi (cấu hình hiện tại): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Phần tuyến tính của tensor biến dạng Almansi (gradient chuyển vị đối xứng trong cấu hình hiện tại): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Tensor biến dạng vô cùng nhỏ (xấp xỉ tuyến tính): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Lưu ý: \(\boldsymbol{E}\) chủ yếu được dùng trong dạng Total Lagrange, còn \(\boldsymbol{D}\) chủ yếu được dùng trong dạng Updated Lagrange.

Tensor ứng suất

Ký hiệu Mô tả
\(\boldsymbol{\sigma}\) Tensor ứng suất Cauchy (ứng suất thực, cấu hình hiện tại): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Tensor ứng suất Piola-Kirchhoff bậc nhất (ứng suất danh nghĩa): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Tensor ứng suất Piola-Kirchhoff bậc hai (cấu hình tham chiếu, đối xứng): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Quan hệ chuyển đổi giữa các tensor ứng suất:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Quy ước: Dạng Total Lagrange dùng cặp \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), còn dạng Updated Lagrange dùng cặp \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Khối lượng riêng và khối lượng

Ký hiệu Mô tả
\(\rho\) Khối lượng riêng trong cấu hình hiện tại
\(\rho_0\) Khối lượng riêng trong cấu hình tham chiếu

Bảo toàn khối lượng: \(\rho_0 = J\rho\).

Hằng số vật liệu (đàn hồi tuyến tính)

Ký hiệu Mô tả
\(E\) Mô đun Young
\(\nu\) Hệ số Poisson
\(\lambda\) Hằng số Lamé thứ nhất: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Hằng số Lamé thứ hai (mô đun trượt): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Tensor đàn hồi (bậc bốn): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), các thành phần \(C_{ijkl}\)
\(D\) (hoặc \(\hat{\tilde{C}}\)) Ma trận vật liệu (ký hiệu Voigt, \(6\times6\) trong 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Các thành phần của tensor đàn hồi đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính đẳng hướng:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Vật liệu siêu đàn hồi

Ký hiệu Mô tả
\(W(\boldsymbol{C})\) Hàm thế đàn hồi (hàm mật độ năng lượng biến dạng)
\(I_1, I_2, I_3\) Các bất biến chính của tensor Cauchy-Green phải \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Các bất biến rút gọn của \(\boldsymbol{C}\) (tách riêng biến đổi thể tích)
\(C_1, C_2\) Các hằng số vật liệu của mô hình Mooney-Rivlin
\(D\) Hằng số vật liệu liên quan đến đàn hồi thể tích

Vật liệu đàn hồi-dẻo

Ký hiệu Mô tả
\(\boldsymbol{D}^e\) Thành phần đàn hồi của tensor tốc độ biến dạng
\(\boldsymbol{D}^p\) Thành phần dẻo của tensor tốc độ biến dạng
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Hàm chảy dẻo
\(\kappa\) Biến nội tại biểu diễn trạng thái dẻo (biến hóa bền đẳng hướng)
\(\lambda^p\) Hệ số nhân dẻo (hệ số nhân tốc độ biến dạng dẻo): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Thế dẻo (\(\Theta = F\) đối với quy tắc dòng chảy liên hợp)
\(\bar{\sigma}\) Ứng suất tương đương (ví dụ, ứng suất von Mises)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Biến dạng dẻo tương đương
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Hàm hóa bền đẳng hướng

Điều kiện bổ sung: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Phương pháp phần tử hữu hạn

Ký hiệu Mô tả
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Các miền trong cấu hình hiện tại và tham chiếu được xấp xỉ bằng rời rạc hóa phần tử hữu hạn: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Miền phần tử trong cấu hình hiện tại và tham chiếu
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Phần biên phần tử thuộc biên cơ học
\(\boldsymbol{r}\) Tọa độ tự nhiên (tọa độ cục bộ phần tử)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Điểm trong tọa độ tự nhiên tương ứng với nút \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Hàm dạng tương ứng với nút \(\alpha\) của phần tử \(e\)
\(n_e\) Số nút cấu thành một phần tử
\(n_g\) Tổng số nút toàn cục
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Tọa độ và chuyển vị của nút phần tử \(\alpha\)
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Vectơ tọa độ nút và chuyển vị của phần tử: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), v.v.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Vectơ tọa độ nút và chuyển vị toàn cục (sắp theo số nút, sau đó theo bậc tự do)
\(\boldsymbol{B}\) Ma trận quan hệ biến dạng-chuyển vị (ma trận B)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Ma trận hàm dạng: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) là một khối \(d \times d\) có hàm dạng \(N_\alpha^e\) của nút \(\alpha\) trên đường chéo, và \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Ma trận độ cứng phần tử
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Các hàm dưới dấu tích phân của ma trận độ cứng phần tử (biểu diễn trong cấu hình tham chiếu và hiện tại): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (dạng TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (dạng UL) Vectơ nội lực phần tử
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Ngoại lực nút tác dụng lên nút phần tử \(\alpha\), và vectơ ngoại lực nút của phần tử: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Vectơ nội lực toàn cục và vectơ ngoại lực toàn cục: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); tương tự với \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Nội lực nút và ngoại lực nút tại nút toàn cục \(i_g\) (các khối nút của \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Ma trận độ cứng tiếp tuyến toàn cục: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Ma trận được tạo bằng cách đặt khối \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) tại hàng \(i_g\), cột \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Vectơ dư trong lặp Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Hiệu chỉnh trong lặp Newton-Raphson (thu được bằng cách giải phương trình tuyến tính \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) tại lần lặp \(i\))
\(i_g\) Số nút toàn cục (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Số nút toàn cục tương ứng với số nút cục bộ \(\alpha\) của phần tử \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Tập các cặp \((e, \alpha)\) tương ứng với số nút toàn cục \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Được dùng trong thao tác lắp ráp
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Tập các bộ ba \((e, \alpha, \beta)\) tương ứng với cặp số nút toàn cục \((i_g, i_h)\); dùng để lắp ráp ma trận độ cứng
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Các chỉ số của các nút cấu thành phần tử
\(i, j, k, l, \ldots\) Các chỉ số của bậc tự do (\(1, 2, 3\) trong 3D)

Phần tử nâng cao và phần tử kết cấu

Ký hiệu Mô tả
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Ma trận quan hệ biến dạng-chuyển vị có phần thể tích được sửa đổi bằng phương pháp B-bar (thành phần thể tích được thay bằng ma trận B đánh giá tại tâm phần tử)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Gradient biến dạng có phần thể tích được sửa đổi bằng phương pháp F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Tỷ số thể tích của gradient biến dạng được đánh giá tại tâm phần tử \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Vectơ bậc tự do nội tại của phần tử mode không tương thích (các hệ số của các mode chuyển vị bổ sung không áp đặt tính liên tục trên biên phần tử)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Các hàm dạng cho mode không tương thích: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Chiều dày phần tử vỏ
\(A\) Diện tích tiết diện của phần tử dầm
\(I\) Mô men quán tính diện tích bậc hai của tiết diện phần tử dầm
\(G\) Mô đun trượt: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Chủ đề liên quan

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status