Gå till innehållet

Lista över symboler för fysikaliska storheter

Den här sidan listar symbolerna för fysikaliska storheter som används i FrontISTR:s teorimanual. För notationskonventioner (fetstil för vektorer och tensorer, Einsteins summakonvention och Voigt-notation), se Tensornotation och matematiska grunder.

Konfigurationer och koordinatsystem

Symbol Beskrivning
\(\boldsymbol{X}\) Positionsvektor för en materialpunkt i referenskonfigurationen (initialkonfigurationen), dvs. materialkoordinater
\(\boldsymbol{x}\) Positionsvektor för en materialpunkt i den aktuella konfigurationen, dvs. rumsliga koordinater
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Rörelseavbildning: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Område som kroppen upptar i referenskonfigurationen
\(\Omega\) Område som kroppen upptar i den aktuella konfigurationen
\(\Gamma_0\) Rand till \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Rand till \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Geometrisk rand (förskjutningsrand): rand i aktuell/referenskonfiguration där \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) föreskrivs
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Mekanisk rand: rand i aktuell/referenskonfiguration där \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (eller \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) föreskrivs
\(\boldsymbol{n}\) Utåtriktad enhetsnormalvektor till en yta i den aktuella konfigurationen
\(\boldsymbol{N}\) Utåtriktad enhetsnormalvektor till en yta i referenskonfigurationen
\(t\) Tid

Konvention: Fysikaliska storheter i referenskonfigurationen betecknas med versaler eller indexet \(0\), medan storheter i den aktuella konfigurationen betecknas med gemener.

Tid och inkrement (inkrementell analys)

Symbol Beskrivning
\(\Delta t\) Tidsinkrement: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Fysikalisk storhet vid tiden \(t\) (vänster upphöjt index). Exempel: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) är Cauchy-spänningen vid tiden \(t\)
\(^{t}\Omega\) Den aktuella konfigurationens område vid tiden \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Den aktuella konfigurationens rand vid tiden \(t\)

Konvention: Vid inkrementell analys behandlas tillståndet fram till tiden \(t\) som känt, och tillståndet vid tiden \(t + \Delta t\) löses som okänt. Det vänstra upphöjda indexet utelämnas när tiden inte behöver anges uttryckligen. En formulering som använder referenskonfigurationen \(\Omega_0\) som referens kallas total-Lagrange-formulering, medan en formulering som använder den aktuella konfigurationen \(^{t}\Omega\) vid inkrementets början som referens kallas updated-Lagrange-formulering.

Förskjutning, hastighet, acceleration och kroppskraft

Symbol Beskrivning
\(\boldsymbol{u}\) Förskjutningsvektor: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Förskjutning föreskriven på den geometriska randen \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Virtuell förskjutning (testfunktion): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) på \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Hastighetsvektor: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Accelerationsvektor: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Kroppskraft (per massenhet)
\(\boldsymbol{t}\) Traktionsvektor (per ytenhet): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Traktion föreskriven på den mekaniska randen \(\Gamma_t\) (Neumann-data)

Differentialoperatorer

Symbol Beskrivning
\(\dot{(\cdot)}\) Materiell tidsderivata (tidsderivata som följer samma materialpunkt): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradient i referenskonfigurationen (gradient med avseende på materialkoordinaterna \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradient i den aktuella konfigurationen (gradient med avseende på de rumsliga koordinaterna \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Symmetrisk gradientoperator: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Anmärkning: \(\nabla_X\) och \(\nabla_x\) är relaterade genom \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). En gradient utan index, \(\nabla\), används när konfigurationen framgår av sammanhanget eller när skillnaden försvinner, såsom i problem med små deformationer.

Deformationstensorer

Symbol Beskrivning
\(\boldsymbol{F}\) Deformationsgradienttensor: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Volymförhållande: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Höger Cauchy-Green-deformationstensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Vänster Cauchy-Green-deformationstensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Hastighetsgradienttensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Deformationshastighetstensor (symmetrisk del av \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Spinntensor (antisymmetrisk del av \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Töjningstensorer

Symbol Beskrivning
\(\boldsymbol{E}\) Green-Lagrange-töjningstensor (referenskonfiguration): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Almansi-töjningstensor (aktuell konfiguration): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Linjär del av Almansi-töjningstensor (symmetrisk förskjutningsgradient i den aktuella konfigurationen): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Infinitesimal töjningstensor (linjär approximation): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Anmärkning: \(\boldsymbol{E}\) används främst i total-Lagrange-formuleringen, medan \(\boldsymbol{D}\) används främst i updated-Lagrange-formuleringen.

Spänningstensorer

Symbol Beskrivning
\(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy-spänningstensor (sann spänning, aktuell konfiguration): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Första Piola-Kirchhoff-spänningstensor (nominell spänning): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Andra Piola-Kirchhoff-spänningstensor (referenskonfiguration, symmetrisk): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Omvandlingsrelationer mellan spänningstensorerna:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Konvention: Total-Lagrange-formuleringen använder paret \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), medan updated-Lagrange-formuleringen använder paret \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Densitet och massa

Symbol Beskrivning
\(\rho\) Massdensitet i den aktuella konfigurationen
\(\rho_0\) Massdensitet i referenskonfigurationen

Massans bevarande: \(\rho_0 = J\rho\).

Materialkonstanter (linjär elasticitet)

Symbol Beskrivning
\(E\) Youngs modul
\(\nu\) Poissons tal
\(\lambda\) Första Lamé-konstanten: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Andra Lamé-konstanten (skjuvmodul): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Elasticitetstensor (fjärde ordningen): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponenter \(C_{ijkl}\)
\(D\) (eller \(\hat{\tilde{C}}\)) Materialmatris (Voigt-notation, \(6\times6\) i 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Komponenter i elasticitetstensorn för ett isotropt linjärelastiskt material:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Hyperelastiska material

Symbol Beskrivning
\(W(\boldsymbol{C})\) Elastisk potentialfunktion (täthet för töjningsenergi)
\(I_1, I_2, I_3\) Huvudinvarianter för höger Cauchy-Green-tensor \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Reducerade invarianter för \(\boldsymbol{C}\) (volymändringen separerad)
\(C_1, C_2\) Materialkonstanter i Mooney-Rivlin-modellen
\(D\) Materialkonstant relaterad till volymelasticitet

Elastoplastiska material

Symbol Beskrivning
\(\boldsymbol{D}^e\) Elastisk komponent av deformationshastighetstensor
\(\boldsymbol{D}^p\) Plastisk komponent av deformationshastighetstensor
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Flytfunktion
\(\kappa\) Intern variabel som representerar det plastiska tillståndet (isotrop hårdningsvariabel)
\(\lambda^p\) Plastisk multiplikator (multiplikator för plastisk töjningshastighet): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Plastisk potential (\(\Theta = F\) för en associerad flödesregel)
\(\bar{\sigma}\) Ekvivalent spänning (t.ex. von Mises-spänning)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Ekvivalent plastisk töjning
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Isotrop hårdningsfunktion

Komplementaritetsvillkor: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Finita elementmetoden

Symbol Beskrivning
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Områden i aktuell respektive referenskonfiguration approximerade genom finita element-diskretisering: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Elementområde i aktuell respektive referenskonfiguration
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Den del av elementranden som tillhör den mekaniska randen
\(\boldsymbol{r}\) Naturliga koordinater (elementlokala koordinater)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Punkt i naturliga koordinater som motsvarar nod \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Formfunktion som motsvarar nod \(\alpha\) i element \(e\)
\(n_e\) Antal noder som utgör ett element
\(n_g\) Totalt antal globala noder
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Koordinater och förskjutning för elementnod \(\alpha\)
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Elementets nodkoordinat- och nodförskjutningsvektorer: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), osv.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Globala nodkoordinat- och nodförskjutningsvektorer (ordnade efter nodnummer och därefter frihetsgrad)
\(\boldsymbol{B}\) Matris för töjnings–förskjutningssamband (B-matris)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Formfunktionsmatris: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) är ett \(d \times d\)-block med formfunktionen \(N_\alpha^e\) för nod \(\alpha\) på diagonalen, och \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Elementstyvhetsmatris
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Integrander för elementstyvhetsmatrisen (uttryckta i referens- respektive aktuell konfiguration): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-formulering), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-formulering) Elementets inre kraftvektor
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Nodal yttre kraft som verkar på elementnod \(\alpha\), samt elementets nodala yttre kraftvektor: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Global inre kraftvektor och global yttre kraftvektor: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analogt för \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Nodal inre kraft och nodal yttre kraft vid global nod \(i_g\) (nodblock i \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Global tangentstyvhetsmatris: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matris som bildas genom att placera \(3\times 3\)-blocket \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) på rad \(i_g\), kolumn \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Residualvektor i Newton-Raphson-iteration: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Korrektion i Newton-Raphson-iteration (erhålls genom att lösa den linjära ekvationen \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) vid iteration \(i\))
\(i_g\) Globalt nodnummer (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Globalt nodnummer som motsvarar lokalt nodnummer \(\alpha\) i element \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Mängd av par \((e, \alpha)\) som motsvarar globalt nodnummer \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Används vid sammansättningsoperationer
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Mängd av tupler \((e, \alpha, \beta)\) som motsvarar paret av globala nodnummer \((i_g, i_h)\); används vid sammansättning av styvhetsmatrisen
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Index för noder som utgör ett element
\(i, j, k, l, \ldots\) Index för frihetsgrader (\(1, 2, 3\) i 3D)

Avancerade element och strukturelement

Symbol Beskrivning
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Matris för töjnings–förskjutningssamband där volymdelen har modifierats med B-bar-metoden (volymkomponenten ersätts med B-matrisen utvärderad i elementcentrum)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Deformationsgradient där volymdelen har modifierats med F-bar-metoden: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Volymförhållande för deformationsgradienten utvärderad i elementcentrum \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Vektor för interna frihetsgrader i ett inkompatibelt modelement (koefficienter för ytterligare förskjutningsmoder som inte upprätthåller kontinuitet på elementranden)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Formfunktioner för inkompatibla moder: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Skalelementets tjocklek
\(A\) Tvärsnittsarea för ett balkelement
\(I\) Andra areamomentet för ett balkelements tvärsnitt
\(G\) Skjuvmodul: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Relaterade ämnen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status