Gå till innehållet

Linjär elasticitet

Detta kapitel behandlar den konstitutiva lagen (Hookes lag) för linjärelastiska material. För detaljer om modellval och indataspecifikationer, se funktionsavsnittet 03_material.

Fenomen (linjärelastisk respons)

Ett linjärelastiskt material är ett material som, inom ett område där töjningen under last är tillräckligt liten, uppvisar ett linjärt samband mellan spänning och töjning samt en reversibel, historieoberoende respons där all töjning återgår till ursprungstillståndet vid avlastning. Till skillnad från plasticitet eller krypning har det inga interna variabler som representerar tillståndet (såsom plastisk eller viskös töjning), och spänningen bestäms entydigt enbart av den aktuella töjningen.

I smådeformationsområdet används Cauchy-spänningen \(\boldsymbol{\sigma}\) och den infinitesimala töjningen \(\boldsymbol{\varepsilon}\); i området för ändliga deformationer (problem som omfattar stora rotationer men där själva töjningen är liten) används den andra Piola-Kirchhoff-spänningen \(\boldsymbol{S}\) och Green-Lagrange-töjningen \(\boldsymbol{E}\) (St.Venant-Kirchhoff-material).

Konstitutiv lag

Isotropt linjärelastiskt material

I smådeformationsområdet uttrycks den isotropa Hookes lag med Lamé-konstanterna \(\lambda, \mu\) som

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

I komponentform,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

och dubbel kontraktion med töjningen ger \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Lamé-konstanterna är relaterade till Youngs modul \(E\) och Poissons tal \(\nu\) enligt följande:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

I Voigt-notation skrivs sambandet mellan töjningsvektorn \(\hat{\varepsilon}\) och spänningsvektorn \(\hat{\sigma}\) som \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), och den tredimensionella materialmatrisen \(D\) är

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Denna matrisrepresentation används i implementationen.

Ortotropt linjärelastiskt material

För material vars elastiska konstanter skiljer sig mellan huvudaxlarnas riktningar används en ortotrop modell med nio oberoende konstanter: Youngs moduler i huvudaxlarnas riktningar \(E_1, E_2, E_3\), Poissons tal mellan huvudaxlarna \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) samt skjuvmodulerna \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). För den explicita formen av \(D\)-matrisen, se standardreferenser.

Område för ändlig deformation: St.Venant-Kirchhoff-material

För problem som omfattar stora rotationer men där själva töjningen är liten används St.Venant-Kirchhoff-materialet som en linjärelastisk lag som relaterar den andra Piola-Kirchhoff-spänningen \(\boldsymbol{S}\) till Green-Lagrange-töjningen \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Definitionerna av Lamé-konstanterna \(\lambda, \mu\) är desamma som i smådeformationsfallet. Observera dock att eftersom definitionerna av spännings–töjningsparet skiljer sig är detta en annan konstitutiv lag än Hookes lag för små deformationer.

Hypoelastiskt material

I Updated Lagrange-metoden används ett hypoelastiskt material som tillämpar den linjärelastiska lagen mellan Jaumann-derivatan av den relativa Kirchhoff-spänningstensorn \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) och deformationstaktstensorn \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Även här är definitionen av \(\boldsymbol{C}\) med Lamé-konstanterna densamma som ovan, men eftersom spännings–töjningsparet skiljer sig är detta en annan konstitutiv lag. För detaljer om hur \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) uppdateras genom tidsintegrationsförfarandet (framåtriktad Euler-integration och centraldifferensapproximation), se tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Reducering för tvådimensionell analys och skalelement

Plant spänningstillstånd (\(\sigma_{33} = 0\))

För plant spänningstillstånd, som representerar belastning av tunna plattor och skal, antas \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), och \(D\) används efter att töjningskomponenten utanför planet \(\varepsilon_{33}\) eliminerats algebraiskt:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Plant töjningstillstånd (\(\varepsilon_{33} = 0\))

För plant töjningstillstånd, som representerar tvärsnittet av en lång struktur begränsad i tjockleksriktningen, antas \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Axisymmetriskt

I axisymmetrisk analys, som behandlar problem som är enhetliga i \(\theta\)-riktningen i cylindriska koordinater \((r, \theta, z)\), behålls de fyra komponenterna \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) och \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), och

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

erhålls.

Skalelement (plant spänningstillstånd + tvärskjuvning)

För skalelement behandlas spänningen i planet som plant spänningstillstånd, och för tvärskjuvtöjningskomponenterna \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) används \(\kappa\, G\) med skjuvkorrektionsfaktorn \(\kappa\) (vanligen \(\kappa = 5/6\)). För den detaljerade formuleringen av varje element, se Avancerade elementformuleringar. Specifikationen i funktionsavsnittet 03_material att "skalelement endast stöder linjär elasticitet" bygger på denna förenkling där tillståndet i planet behandlas som plant spänningstillstånd.

Temperaturberoende

Youngs modul \(E\), Poissons tal \(\nu\) och den linjära expansionskoefficienten \(\alpha\) anges i allmänhet som funktioner av temperaturen \(T\). I FrontISTR matas värden in för en ändlig följd av temperaturpunkter \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), och värdet vid temperaturen \(T\) under beräkningen bestäms genom linjär interpolation mellan intilliggande punkter. För temperaturer utanför intervallet (\(T < T_1\) eller \(T > T_n\)) används värdet vid närmaste ändpunkt, \(T_1\) eller \(T_n\), för extrapolering (konstant extrapolering).

För temperaturberoendet hos termiska egenskaper och värmeledningsegenskaper (densitet, specifik värmekapacitet och värmeledningsförmåga), se Termiska egenskaper. Interpolationsreglerna är gemensamma för dessa egenskaper.

Relaterade ämnen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status