Kontaktanalys

När två kroppar kommer i kontakt överförs en kontaktkraft \(t_c\) genom kontaktytan. Principen om virtuellt arbete skrivs om enligt följande.

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}v}\,^{t'} \sigma : \delta^{t'} A_{(L)} d^{t'}v = \int^{t'}_{^{t'}S_{t}}\,^{t'} \overline{t} \cdot \delta u d^{t'}s+ \int^{t'}_{V} \overline{b} \cdot \delta u d^{t'}v + \int^{t'}_{^{t'} S _{c}}t_{c}[\delta u^{(1)} - u^{(2)}] \label{eq:2.2.70} \end{equation}\]

Här betecknar \(S_c\) kontaktytan, och \(u^{(1)}\) respektive \(u^{(2)}\) betecknar förskjutningarna för kontaktkropp 1 respektive 2.

Vid kontaktanalys anges de ytor som kan komma i kontakt som ett par. Den ena ytan i paret anges som masteryta och den andra som slavyta. I denna master–slave-metod antas följande kontaktvillkor.

1. En slavnod tränger inte igenom masterytan.
2. När kontakt uppstår befinner sig slavnoden i kontaktläget, och master- och slavytan överför kontaktkraft och friktionskraft till varandra genom denna kontaktpunkt.

Diskretisering av den sista termen i ekvation \(\eqref{eq:2.2.70}\) med finita elementmetoden ger följande ekvation.

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}S_{c}} t_c [\delta u^{(1)} - \delta u^{(2)}] \approx \delta UK_c \Delta U + \delta UF_c \label{eq:2.2.71} \end{equation}\]

Här betecknar \(K_c\) respektive \(F_c\) kontaktstyvhetsmatrisen och kontaktkraften. Finita element-formuleringarna för total-Lagrange- och updated-Lagrange-metoderna med kontaktvillkor är följande.

\[\begin{equation} \delta U^T ( ^t_0 K_L + ^t_0 K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_0^{t'} F} - \partial U^T {^t_0 Q} + \delta UF_c \label{eq:2.2.72} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta U^T (^t_t K_L + ^t_t K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_{t} ^{t'} F} - \partial U^T {^t_t Q}+ \delta UF_c \label{eq:2.2.73} \end{equation}\]

Relaterade ämnen

• Tangentstyvhetsmatris — Tangentstyvhet i icke-linjär analys inklusive kontakt
• Newton-Raphson-metoden — Iterativ lösningsmetod
• Kontakt och inbäddning — Alternativ för kontakttyper och algoritmer