Gå till innehållet

Tensornotation och matematiska grunder

Detta kapitel samlar konventionerna för tensornotation, indexnotation och Voigt-notation som används i efterföljande kapitel i FrontISTR:s teorimanual. Här beskrivs endast rena notationsregler som inte beror på definitionerna av fysikaliska storheter. Notationskonventioner som beror på den konfiguration som hör till kontinuumets rörelse (referens-/aktuell konfiguration), såsom skillnaden mellan stora och små bokstäver och mellan materiella och spatiala derivator, anges i Rörelse, deformation och töjning, där konfigurationsbegreppet introduceras.

Tensornotation

Fetstil för vektor- och tensornotation

Som typografisk konvention skrivs skalära storheter och komponenter av vektorer och tensorer med normal stil (såsom \(\rho\) och \(x_i\)), medan vektor- och tensorstorheterna själva skrivs i fetstil (såsom \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) och \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Einsteins summationskonvention

Om inget annat anges används Einsteins summationskonvention: när samma index förekommer två gånger i samma term summeras över detta index. Till exempel,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

och komponenten \(i,j\) i produkten \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) av tensorerna \(\boldsymbol{A}\) och \(\boldsymbol{B}\) är

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Som indexkonvention betecknar \(i, j, k, l, \ldots\), när de används som index utan ytterligare kvalificering, index som hör till frihetsgrader (\(1, 2, 3\) i tre dimensioner), medan gemena grekiska bokstäver \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) som används som index betecknar index för de noder som utgör ett element.

Inre produkt, transponering och tensorprodukt

Transponatet av tensor \(\boldsymbol{A}\) betecknas \(\boldsymbol{A}^T\). Den inre produkten (dubbel kontraktion) av andra ordningens tensorer \(\boldsymbol{A}\) och \(\boldsymbol{B}\) skrivs som

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Den inre produkten av vektorerna \(\boldsymbol{a}\) och \(\boldsymbol{b}\) är \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), och deras tensorprodukt är \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt-notation

Spänning och töjning är symmetriska tensorer av andra ordningen med avseende på frihetsgraderna, och koefficienterna som representerar det linjära sambandet mellan dem bildar en tensor av fjärde ordningen. Att hantera dessa direkt i ett program är ofördelaktigt med avseende på beräkningskostnad och kodning (flerdimensionella arrayer och djupt nästlade loopar). Därför utnyttjar vanliga finita elementprogram symmetrin och komprimerar spänning och töjning till kolonnvektorer och elasticitetstensorn av fjärde ordningen till en tvådimensionell matris. Detta kallas Voigt-notation.

I fortsättningen betecknas matris- eller vektorrepresentationen av en tensorstorhet \(\boldsymbol{A}\) med \(\hat{A}\) för att skilja den från den ursprungliga tensorn.

Vektorrepresentation av spänning och töjning

För den symmetriska spänningstensorn \(\boldsymbol{\sigma}\) och töjningstensorn \(\boldsymbol{\varepsilon}\) gäller i två dimensioner,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

i tre dimensioner,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

hanteras de som kolonnvektorer enligt ovan. Samma regel gäller härledda storheter såsom variationer och differentialer. Observera att skjuvkomponenterna på töjningssidan har faktorn 2 (spänningssidan har den inte). På grund av denna asymmetri kan tensorernas inre produkt skrivas kompakt som vektorernas inre produkt

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Vid implementation är faktorn 2 för skjuvtöjningskomponenterna lätt att hantera fel, så konventionen ”saknas för spänning / finns för töjning” måste alltid beaktas. Exakt samma Voigt-konvention tillämpas på storheter i referenskonfigurationen (andra Piola-Kirchhoff-spänningen \(\boldsymbol{S}\) och Green-Lagrange-töjningen \(\boldsymbol{E}\)).

Matrisrepresentation av en tensor av fjärde ordningen

För det linjära sambandet mellan spänning och töjning, \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (i komponentform \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), ger utnyttjandet av symmetrin hos \(\boldsymbol{\varepsilon}\)

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

I tre dimensioner kan den ursprungliga tensorrelationen uttryckas genom att ordna \(\tilde{C}\) som 6×6-materialmatrisen \(\hat{\tilde{C}}\) enligt

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

I fortsättningen betecknas materialmatrisen i denna manual, om inget annat anges, med \(D\) (eller \(\hat{C}\)). För de specifika komponenterna för isotrop linjär elasticitet, se Linjär elasticitet.

Konventioner för differentialoperatorer

Symmetrisk gradientoperator

Den symmetriska gradientoperatorn \(\nabla_S\) för ett vektorfält \(\boldsymbol{u}\) definieras som

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

I komponentform är \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Töjningen vid infinitesimal deformation \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) kan uttryckas kompakt med denna operator. Skillnaden mellan de konfigurationer (referens/aktuell) med avseende på vilka gradienter tas vid ändlig deformation behandlas i Rörelse, deformation och töjning.

Materiell tidsderivata

Den materiella tidsderivatan av en storhet \(A\) (tidsderivatan som följer samma materialpunkt) betecknas med en punkt som övre index, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Hastighet och acceleration följer denna konvention.

Relaterade ämnen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status