Ramverk för inkrementell analys

Behovet av inkrementell analys

Som beskrivits ovan kan finit elementanalys av smådeformationsproblem utföras genom att använda principen om virtuellt arbete, som är ekvivalent med de grundläggande ekvationerna såsom jämviktsekvationerna, och diskretisera denna ekvation med finita element. Samma grundläggande princip om virtuellt arbete används också vid analys av finita deformationsproblem som omfattar stora deformationer av konstruktioner.

I finita deformationsproblem blir emellertid ekvationen för principen om virtuellt arbete icke-linjär med avseende på förskjutningen, även om materiallinjäritet antas. För att lösa icke-linjära ekvationer används i allmänhet iterativa beräkningar med en iterativ metod.

I dessa iterativa beräkningar används en inkrementell analysmetod där beräkningen utförs styckevis för små lastinkrement och inkrementen ackumuleras tills det slutliga deformerade tillståndet nås. När ett smådeformationsproblem antas görs ingen särskild åtskillnad mellan konfigurationerna före och efter deformation när töjning och spänning definieras. Det vill säga, under antagandet om små deformationer spelar det ingen roll om konfigurationen som används för att beskriva de grundläggande ekvationerna är konfigurationen före eller efter deformation.

När inkrementell analys utförs för ett finit deformationsproblem skiljer sig formuleringen beroende på om den initiala konfigurationen eller konfigurationen vid inkrementets början används som referenskonfiguration. Den förra kallas Total Lagrange-metoden och den senare Updated Lagrange-metoden. Se referenserna i slutet av kapitlet och relaterat material för detaljer.

Utgångsekvation: principen om virtuellt arbete vid tiden \(t'\)

Betrakta en inkrementell analys där tillståndet fram till tiden \(t\) är känt och tillståndet vid tiden \(t' = t + \Delta t\) är okänt (se figur 2.2.1). Jämviktsekvationerna, randvillkoren och principen om virtuellt arbete vid tiden \(t'\) (uttryckta i den aktuella konfigurationen med Cauchy-spänningen \(^{t'}\sigma\) och den linjära delen av Almansi-töjningen \(^{t'} A_{(L)}\)) ges i Principen om virtuellt arbete.

Figur 2.2.1 Begrepp för inkrementell analys

Eftersom denna utgångsekvation är skriven i den (okända) konfigurationen vid tiden \(t'\), väljer den faktiska lösningsproceduren antingen den initiala konfigurationen \(V\) vid tiden \(0\) eller den aktuella konfigurationen \(^{t'} v\) vid tiden \(t\) som referenskonfiguration, skriver om ekvationen i inkrementell form och löser den därefter:

• Total Lagrange-metoden — Använder den initiala konfigurationen \(V\) som referens. Den andra PK-spänningen \(\boldsymbol{S}\) och Green–Lagrange-töjningen \(\boldsymbol{E}\) används.
• Updated Lagrange-metoden — Använder den aktuella konfigurationen \(^{t}v\) vid inkrementets början som referens. Cauchy-spänningen \(\boldsymbol{\sigma}\) och den linjära delen av Almansi-töjningen \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) används.

För den rumsliga diskretiseringen av båda formuleringarna (B-matris och inre kraftvektor), se Diskretisering av inre virtuellt arbete; för linjärisering och konstruktion av tangentstyvheten, se Tangentstyvhetsmatris.

Relaterade ämnen

• Principen om virtuellt arbete — Huvudsaklig utgångsekvation (svag form i aktuell och initial konfiguration)
• Diskretisering av inre virtuellt arbete — B-matriser och inre kraftvektorer för TL/UL
• Tangentstyvhetsmatris — \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\) erhållna genom linjärisering
• Newton–Raphsons metod — Iterativ algoritm