Krypning

Detta kapitel beskriver den konstitutiva lagen för krypning som används i FrontISTR. För information om val och indataspecifikationer, se funktionsavsnittet 03_material.

Krypfenomen och additiv töjningsuppdelning

Tidsberoende förskjutning under ett tillstånd med konstant spänning är ett fenomen som kallas "krypning".

Det viskoelastiska beteende som beskrivits ovan kan också betraktas som en typ av linjärt krypfenomen. Här beskrivs flera ickelinjära krypbeteenden. Ett vanligt tillvägagångssätt är att formulera den konstitutiva relationen genom att lägga detta beteende till den töjning som uppstår momentant, och att definiera den töjning som ackumuleras medan en given konstant last kvarstår som kryptöjningen \(\varepsilon^c\). En konstitutiv relation som inkluderar krypning uttrycks vanligen med kryptöjningshastigheten \(\dot{\varepsilon}^c\), definierad som en funktion av spänningen och den totala kryptöjningen.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Om den töjning som uppstår momentant är den elastiska töjningen \(\varepsilon^e\), uttrycks den totala töjningen som följande summa inklusive kryptöjningen.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

där

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) är elasticitetstensorn).

Nortons lag

Som en specifik konstitutiv lag för krypning använder FrontISTR följande Norton-modell. I denna konstitutiva lag uttrycks den ekvivalenta kryptöjningshastigheten \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) som en funktion av von Mises-spänningen \(q\) och tiden \(t\) enligt följande.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Här är \(A\), \(m\) och \(n\) materialkonstanter.

Tidsintegration och spänningsuppdatering

Liksom för plastiska material måste en numerisk tidsintegrationsmetod specificeras för en konstitutiv lag som uppvisar krypning. Den konstitutiva relationen när krypning beaktas är

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]

\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

där \(\beta_{n+\theta}\) är

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Kryptöjningsinkrementet \(\Delta \varepsilon^c\) definieras därefter av följande förenklade ickelinjära ekvation:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

som sätts lika med noll.

I Newton-Raphson-iterationen, med \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) som initial spänning och med det töjningsinkrement som erhålls från finita elementmetoden, ges den iterativa lösningen och inkrementet av

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

där

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

definieras. När iterationen fortsätter tills residualen \(R\) blir \(\mathbf{0}\) används spänningen \(\sigma_{n+1}\) och tangentmodulen

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

.

Relaterade ämnen

• Viskoelasticitet — Viskoelastiskt beteende motsvarande linjär krypning
• Tangentstyvhetsmatris — Tangentstyvhet för inkrementell analys inklusive krypning
• Materialdata (funktioner) — Parameterspecifikation för Norton-modellen