Frekvenssvarsanalys

Problemformulering

Frekvenssvarsanalys utvärderar ett systems stationära responsamplitud och fas i frekvensdomänen när den yttre kraften varierar harmoniskt med tiden. Eftersom den styrande rörelseekvationen behandlas olika med och utan dämpning härleds först egenmoderna från odämpad fri vibration, varefter de används som modal bas för att utveckla den dämpade harmoniska responsen.

Odämpad fri vibration och egenmoder

När dämpning försummas är rörelseekvationen

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Om förskjutningen utvecklas i varje egenmod erhålls

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Insättning i ekv.\(\eqref{eq:2.6.1}\) ger

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Detta är ett generaliserat egenvärdesproblem. Numeriska lösningsmetoder för detta, inklusive skiftad invers iteration och Lanczos-metoden, behandlas i Modalanalys. Detta avsnitt sammanfattar egenskaperna hos de resulterande egenfrekvenserna och egenmoderna som används i den efterföljande utvecklingen av den harmoniska responsen.

Egenfrekvensernas realitet

Egenfrekvensen kan visas vara reell enligt följande. Sätt \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Komplexkonjugering av ekv.\(\eqref{eq:2.6.3}\) ger ekv.\(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Multiplikation med \(\overline{U}_J^T\) ger

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Från ekv.\(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Eftersom massmatrisen är symmetrisk positivt definit gäller för en egenvektor som inte är noll

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Därför gäller

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Alltså är \(\omega_j^2 = \lambda_j\) reellt.

Egenmoders ortogonalitet och normalisering

Betrakta två olika moder.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Därav följer

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

och när egenvärdena är olika,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Olika egenmoder är alltså ortogonala med avseende på massmatrisen. För samma mod förenklar normalisering med avseende på massmatrisen enligt ekv.\(\eqref{eq:2.6.12}\) den efterföljande behandlingen.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Harmonisk respons med dämpning

Härnäst presenteras formuleringen för frekvenssvarsanalys med dämpning. Den styrande rörelseekvationen ges av ekv.\(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Dämpningstermen antas vara av Rayleigh-typ och uttrycks som ekv.\(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Med egenvektorerna från modalanalysen kan förskjutningsvektorn vid tiden t utvecklas enligt ekv.\(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Antag att den yttre krafttermen har den harmoniska formen

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Därefter bestäms \(b_{j}(t)\). Eftersom rörelseekvationen i ekv.\(\eqref{eq:2.6.13}\) har formen av påtvingad vibration,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

gäller. Real- respektive imaginärdelen av utvecklingskoefficienten \(b_{j}(t)\) ges av ekv.\(\eqref{eq:2.6.18}i\) respektive \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Därmed erhålls de sökta koefficienterna för harmonisk respons.

Relaterade ämnen

• Modalanalys — formulering av det underliggande egenvärdesproblemet
• Dynamiska analysmetoder — dynamisk analys i tidsdomänen
• Analystyper — funktionell översikt över frekvenssvarsanalys