Kihagyás

Frekvenciaválasz-analízis

A probléma megfogalmazása

A frekvenciaválasz-analízis azt értékeli, hogy időben harmonikusan változó külső erő esetén mekkora a rendszer állandósult válaszának amplitúdója és fázisa a frekvenciatartományban. Mivel a vizsgált mozgásegyenlet csillapítás nélkül és csillapítással eltérő keretben kezelendő, ebben a fejezetben először a csillapítatlan szabad rezgésből vezetjük le a sajátmódusokat, majd ezeket modális bázisként használva fejtjük ki a csillapított harmonikus választ.

Csillapítatlan szabad rezgés és sajátmódusok

A csillapítás elhanyagolása esetén a mozgásegyenlet a következő alakú.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Ezt sajátmódusonként kifejtve

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

adódik. Ezt a \(\eqref{eq:2.6.1}\) egyenletbe helyettesítve

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

kapjuk. Ennek az általánosított sajátérték-problémának a numerikus megoldási módszereit (eltolt inverz iteráció, Lanczos-módszer) a Modálanalízis fejezet tárgyalja. Itt a kapott sajátfrekvenciák és sajátmódusok azon tulajdonságait foglaljuk össze, amelyekre a későbbi harmonikusválasz-kifejtés épül.

A sajátfrekvenciák valós volta

A sajátfrekvencia valós volta a következőképpen bizonyítható. Legyen \(\omega_j^2 = \lambda_j\); a \(\eqref{eq:2.6.3}\) egyenlet komplex konjugáltját véve a \(\eqref{eq:2.6.4}\) egyenletet kapjuk.

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Ezt \(\overline{U}_J^T\)-vel megszorozva

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

adódik. A \(\eqref{eq:2.6.5}\) egyenletből

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

következik. Mivel a tömegmátrix pozitív definit és szimmetrikus, nem nulla sajátvektorra

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

teljesül. Ezért

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

és így \(\omega_j^2 = \lambda_j\) valós.

A sajátmódusok ortogonalitása és normalizálása

Tekintsünk két különböző módust.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Ebből

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

adódik, és eltérő sajátértékek esetén

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

teljesül. Vagyis a különböző sajátmódusok a tömegmátrixra nézve ortogonálisak. Azonos módus esetén a további kezelés egyszerűbbé válik, ha a tömegmátrix szerint a \(\eqref{eq:2.6.12}\) egyenletnek megfelelően normalizálunk.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Harmonikus válasz csillapítással

Ezután a csillapítást figyelembe vevő frekvenciaválasz-analízis formulációját mutatjuk be. A vizsgált mozgásegyenlet a \(\eqref{eq:2.6.13}\) egyenlet.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

A csillapítási tagról feltételezzük, hogy Rayleigh-típusú, és a \(\eqref{eq:2.6.14}\) egyenlet szerint írható fel.

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

A modálanalízisből kapott sajátvektorokkal a t időpontbeli elmozdulásvektor a \(\eqref{eq:2.6.15}\) egyenlet szerint fejthető ki.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Tegyük fel, hogy a külsőerő-tag harmonikus alakú:

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Ekkor meghatározzuk \(b_{j}(t)\)-t. Mivel a \(\eqref{eq:2.6.13}\) mozgásegyenlet kényszerrezgés alakú,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

teljesül. A \(b_{j}(t)\) kifejtési együttható valós és képzetes része rendre a \(\eqref{eq:2.6.18}i\), illetve a \(\eqref{eq:2.6.19}\) egyenlet alakját veszi fel.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

adódik.

Kapcsolódó elemek

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status