Kihagyás

3D szilárdtest-elemek alakfüggvényei

Az Alakfüggvények és végeselemes közelítés fejezetben bevezetett \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) alakfüggvények közül ez a fejezet a FrontISTR kontinuummechanikai analíziseiben használt 3D szilárdtest-elemek természetes koordinátarendszereit és alakfüggvényeinek konkrét alakját foglalja össze. A tárgyalt hat típus az első- és másodrendű tetraéder (341, 342), az első- és másodrendű háromszög alapú hasáb (351, 352), valamint az első- és másodrendű hexaéder (361, 362). A HEC-MW hálóformátumban használt csomópontsorrendet és lapszámozást lásd a funkcióreferencia Elemtár fejezetében.

Az alakfüggvényekből és a Jacobi-determinánsból felépített elemintegrálási eljárást a Numerikus integrálás ismerteti. A 361-es elem B-bar, F-bar és inkompatibilis formulációját, valamint a gerenda- és héjelemek alakfüggvényeit a Nagy teljesítményű elemformulációk tárgyalja.

Természetes koordinátarendszerek és belső csomópontsorrend

Az alakfüggvények az egyes elemek \(\boldsymbol{r}\) természetes koordinátáin vannak definiálva. A 3D szilárdtest-elemeknél az elem alakjától függően a következő háromféle természetes koordinátarendszert használjuk.

  • Hexaéder (361, 362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraéder (341, 342): \((L_1, L_2, L_3, L_4)\) térfogati koordináták, ahol \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) és \(L_i \ge 0\). Független változóként \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) szolgál, és \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Háromszög alapú hasáb (351, 352): az alaplap háromszögének \((\xi, \eta)\) térfogati koordinátái (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) és a \(\zeta \in [-1, 1]\) tengelyirányú koordináta együttesen adják \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) értékét. Az \(a = 1 - \xi - \eta\) segédmennyiséget az alaplap harmadik térfogati koordinátájaként használjuk.

Az elsőrendű elemeknél az elem csomópontszámozása megegyezik a HEC-MW bemeneti formátum és a belső formátum között. A másodrendű elemeknél azonban az élek középső csomópontjainak sorrendje eltér a két formátumban. A FrontISTR bemenetként a HEC-MW sorrendet fogadja el — a sarokcsomópontok körbejárása után az 1-2, 2-3, … élek középső csomópontjai következnek —, míg az elemtárban implementált alakfüggvények más csomópontsorrendet feltételeznek.

A két formátum közötti eltérést a háló beolvasása után közvetlenül meghívott hecmw2fstr_mesh_conv oldja fel az egyes elemek csomópontjainak átrendezésével. A 3D szilárdtest-elemek közül a következő két típus igényel átalakítást.

Elemtípus Átalakítási tábla Tartalom
342 (másodrendű tetraéder) Table342 A 10 csomópont átrendezése \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) sorrendbe
352 (másodrendű háromszög alapú hasáb) Table352 A 15 csomópont átrendezése \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) sorrendbe

Mivel az átrendezés közvetlenül az elemkapcsolatokat tároló tömbön történik, az ezt követő elemtár-hívások mind a FrontISTR belső csomópontsorrendjét használják. A 362-es másodrendű hexaéderhez nincs átalakítási tábla, mert a középső csomópontok sorrendje megegyezik a HEC-MW bemeneti és a FrontISTR belső formátumában. Az eredmények kiírásakor a rendszer a fordított fstr2hecmw_mesh_conv átalakítással visszaállítja a HEC-MW csomópontsorrendet, ezért a felhasználónak mind bemenetnél, mind kimenetnél csak a HEC-MW formátumot kell figyelembe vennie. Az alábbi alakfüggvények csomópontszámai az átalakítás utáni FrontISTR belső formátumot követik.

Elsőrendű elemek alakfüggvényei

Az elsőrendű tetraéder (341) alakfüggvényei maguk a térfogati koordináták:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Az elsőrendű háromszög alapú hasáb (351) alakfüggvényei az alaplapi háromszög lineáris alakfüggvényeinek (\(a, \xi, \eta\)) és a tengelyirányú lineáris alakfüggvényeknek (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) a szorzatai:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Az elsőrendű hexaéder (361) alakfüggvényei a három tengelyirány lineáris alakfüggvényeinek tenzorszorzatai:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Itt \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) az \(\alpha\) csomópont természetes koordinátáit jelöli (minden komponens \(\pm 1\)).

Másodrendű elemek alakfüggvényei

A másodrendű tetraéder (342) alakfüggvényei négy sarokcsomópontra és hat élközépi csomópontra oszlanak:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Az 5–10. középső csomópontok rendre az 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 és 3-4 élek felezőpontjaihoz tartoznak.

A másodrendű háromszög alapú hasáb (352) alakfüggvényei hat sarokcsomópontból, a háromszögfelületeken lévő hat élközépi csomópontból és három tengelyirányú élközépi csomópontból állnak:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

A 7–9. középső csomópontok az alsó háromszög (\(\zeta = -1\)) éleinek felezőpontjai, a 10–12. csomópontok a felső háromszög (\(\zeta = +1\)) éleinek felezőpontjai, a 13–15. csomópontok pedig a tengelyirányú élek felezőpontjai.

A másodrendű hexaéder (362) a Serendipity család 20 csomópontos eleme. Az \(\alpha\) csomópont természetes koordinátáit jelölje \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). A sarokcsomópontokra (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), minden komponens \(\pm 1\)):

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Az élközépi csomópontoknál (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), a három természetes koordináta közül az egyik \(0\), a másik kettő \(\pm 1\)) azon csomópontokra, ahol \(\xi_\alpha = 0\) (az él iránya a \(\xi\) tengely):

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Az \(\eta\), illetve \(\zeta\) tengely irányába futó élek középső csomópontjainak alakfüggvénye hasonlóan adódik, úgy, hogy a megfelelő természetes koordináta négyzetes tagként szerepel.

Kapcsolódó témák

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status