Přeskočit obsah

Tvarové funkce 3D objemových prvků

Tato kapitola shrnuje přirozené souřadnicové systémy a explicitní tvary tvarových funkcí \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) zavedených v části Tvarové funkce a aproximace metodou konečných prvků pro trojrozměrné objemové prvky používané FrontISTR při analýze kontinua. Šest typů prvků tvoří tetraedry prvního/druhého řádu (341/342), trojboké hranoly prvního/druhého řádu (351/352) a hexaedry prvního/druhého řádu (361/362). Pořadí uzlů a čísla stěn ve formátu sítě HEC-MW viz Knihovna prvků v referenci funkcí.

Postup konstrukce integrace prvku z těchto tvarových funkcí a determinantu Jacobiho matice je uveden v části Numerická integrace. Formulace B-bar, F-bar a nekompatibilní formulace pro 361, stejně jako tvarové funkce nosníkových a skořepinových prvků, jsou popsány v části Pokročilé formulace prvků.

Přirozené souřadnicové systémy a interní pořadí uzlů

Tvarové funkce jsou definovány v přirozených souřadnicích \(\boldsymbol{r}\) každého prvku. Trojrozměrné objemové prvky používají podle tvaru prvku následující tři přirozené souřadnicové systémy.

  • Hexaedry (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraedry (341/342): objemové souřadnice \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), kde \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) a \(L_i \ge 0\). Zvolíme-li \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) jako nezávislé proměnné, potom \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Trojboké hranoly (351/352): kombinují objemové souřadnice \((\xi, \eta)\) základního trojúhelníku (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) s osovou souřadnicí \(\zeta \in [-1, 1]\) a vytvářejí \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Pomocná veličina \(a = 1 - \xi - \eta\) se používá jako třetí objemová souřadnice na základně.

U prvků prvního řádu je číslování uzlů prvku ve vstupním formátu HEC-MW stejné jako v interním formátu. U prvků druhého řádu se konvence pořadí středových uzlů liší. FrontISTR přijímá jako vstup formát HEC-MW (rohové uzly jsou uvedeny kolem prvku a za nimi středové uzly v pořadí hran 1-2, 2-3, …), zatímco tvarové funkce v knihovně prvků jsou implementovány s jiným předpokládaným pořadím uzlů.

Rozdíl mezi oběma formáty řeší hecmw2fstr_mesh_conv, volaná bezprostředně po načtení sítě, která přeuspořádá uzly každého prvku. Mezi trojrozměrnými objemovými prvky se převádějí následující dva typy.

Typ prvku Převodní tabulka Popis
342 (tetraedr druhého řádu) Table342 Přeskupí 10 uzlů na \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (trojboký hranol druhého řádu) Table352 Přeskupí 15 uzlů na \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Protože se přeuspořádání provádí přímo v poli uchovávajícím konektivitu prvku, všechny následující volání knihovny prvků používají interní pořadí uzlů FrontISTR. Pro hexaedrický prvek druhého řádu 362 převodní tabulka neexistuje, protože pořadí středových uzlů ve vstupu HEC-MW a v interním formátu FrontISTR je stejné. Při výstupu výsledků inverzní převod fstr2hecmw_mesh_conv před zápisem obnoví pořadí uzlů HEC-MW, takže uživatelé musí pro vstup i výstup znát pouze formát HEC-MW. Čísla uzlů v níže uvedených tvarových funkcích používají převedený interní formát FrontISTR.

Tvarové funkce prvků prvního řádu

Pro tetraedrický prvek prvního řádu (341) jsou tvarovými funkcemi přímo objemové souřadnice:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Pro prvek trojbokého hranolu prvního řádu (351) jsou tvarové funkce součiny lineárních tvarových funkcí základního trojúhelníku (\(a, \xi, \eta\)) a lineárních osových tvarových funkcí (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Pro hexaedrický prvek prvního řádu (361) jsou tvarové funkce tenzorovými součiny lineárních tvarových funkcí ve třech souřadnicových směrech:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Zde jsou \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) hodnoty přirozených souřadnic uzlu \(\alpha\) (každá složka je \(\pm 1\)).

Tvarové funkce prvků druhého řádu

U tetraedrického prvku druhého řádu (342) se tvarové funkce dělí na čtyři rohové uzly a šest středových uzlů:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Středové uzly 5–10 odpovídají postupně středům hran 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 a 3-4.

Prvek trojbokého hranolu druhého řádu (352) se skládá ze šesti rohových uzlů, šesti středových uzlů na trojúhelníkových stěnách a tří středových uzlů na osových hranách:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Středové uzly 7–9 odpovídají středům hran dolního trojúhelníku (\(\zeta = -1\)), uzly 10–12 středům hran horního trojúhelníku (\(\zeta = +1\)) a uzly 13–15 středům osových hran.

Hexaedrický prvek druhého řádu (362) je 20uzlový prvek rodiny Serendipity. Označme hodnoty přirozených souřadnic uzlu \(\alpha\) jako \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Pro rohové uzly (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), přičemž každá složka je \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Pro středové uzly (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), přičemž jedna ze tří přirozených souřadnic je rovna \(0\) a zbývající dvě jsou \(\pm 1\)) mají uzly s \(\xi_\alpha = 0\) (hrany orientované ve směru \(\xi\)) tvar

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Středové uzly, jejichž směr hrany je osa \(\eta\) nebo \(\zeta\), se definují analogicky, přičemž odpovídající přirozená souřadnice je eliminována členem na druhou.

Související témata

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status