Přeskočit obsah

Tenzorová notace a matematické základy

Tato kapitola sjednocuje konvence pro tenzorovou notaci, indexovou notaci a Voigtovu notaci používané v následujících kapitolách teoretické příručky FrontISTR. Jsou zde popsána pouze čistá pravidla notace, která nezávisí na definicích fyzikálních veličin. Konvence notace závislé na konfiguraci spojené s pohybem kontinua (referenční/aktuální konfigurace), například rozlišení velkých a malých písmen a materiálových a prostorových derivací, jsou uvedeny v části Pohyb, deformace a přetvoření, kde je pojem konfigurace zaveden.

Tenzorová notace

Tučná notace vektorů a tenzorů

Jako typografická konvence se skalární veličiny a složky vektorů a tenzorů zapisují běžným písmem (například \(\rho\) a \(x_i\)), zatímco samotné vektorové a tenzorové veličiny se zapisují tučně (například \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) a \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Einsteinova sumační konvence

Není-li uvedeno jinak, používá se Einsteinova sumační konvence: pokud se v témže členu objeví stejný index dvakrát, provádí se přes tento index součet. Například

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

a složka \(i,j\) součinu \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) tenzorů \(\boldsymbol{A}\) a \(\boldsymbol{B}\) je

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Podle indexové konvence označují \(i, j, k, l, \ldots\), jsou-li použity jako indexy bez dalšího upřesnění, indexy spojené se stupni volnosti (\(1, 2, 3\) ve třech rozměrech), zatímco malá řecká písmena \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) použitá jako indexy označují indexy uzlů tvořících prvek.

Vnitřní součin, transpozice a tenzorový součin

Transpozice tenzoru \(\boldsymbol{A}\) se označuje \(\boldsymbol{A}^T\). Vnitřní součin (dvojitá kontrakce) tenzorů druhého řádu \(\boldsymbol{A}\) a \(\boldsymbol{B}\) se zapisuje jako

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Vnitřní součin vektorů \(\boldsymbol{a}\) a \(\boldsymbol{b}\) je \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\) a jejich tenzorový součin je \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigtova notace

Napětí a přetvoření jsou vzhledem ke stupňům volnosti symetrické tenzory druhého řádu a koeficienty vyjadřující lineární vztah mezi nimi tvoří tenzor čtvrtého řádu. Přímá práce s nimi v programu je nevýhodná z hlediska výpočetní náročnosti i programování (vícerozměrná pole a hluboce vnořené smyčky). Proto obecné programy metody konečných prvků využívají symetrii a komprimují napětí a přetvoření do sloupcových vektorů a tenzor elasticity čtvrtého řádu do dvourozměrné matice. Toto se nazývá Voigtova notace.

Dále se maticová nebo vektorová reprezentace tenzorové veličiny \(\boldsymbol{A}\) označuje \(\hat{A}\), aby byla odlišena od původního tenzoru.

Vektorová reprezentace napětí a přetvoření

Pro symetrický tenzor napětí \(\boldsymbol{\sigma}\) a tenzor přetvoření \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ve dvou rozměrech

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

ve třech rozměrech

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

se s nimi pracuje jako se sloupcovými vektory uvedenými výše. Stejné pravidlo platí pro odvozené veličiny, například variace a diferenciály. Všimněte si, že smykové složky na straně přetvoření mají faktor 2 (na straně napětí nikoli). Díky této asymetrii lze tenzorový vnitřní součin kompaktně zapsat jako vektorový vnitřní součin

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Při implementaci lze faktor 2 u smykových složek přetvoření snadno zpracovat chybně, proto je vždy nutné mít na paměti konvenci „u napětí chybí / u přetvoření je přítomen“. Přesně stejná Voigtova konvence se používá pro veličiny v referenční konfiguraci (druhé Piolovo-Kirchhoffovo napětí \(\boldsymbol{S}\) a Greenovo-Lagrangeovo přetvoření \(\boldsymbol{E}\)).

Maticová reprezentace tenzoru čtvrtého řádu

Pro lineární vztah mezi napětím a přetvořením \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (ve složkovém zápisu \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) dává využití symetrie \(\boldsymbol{\varepsilon}\)

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Ve třech rozměrech lze uspořádáním \(\tilde{C}\) do materiálové matice 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\) vyjádřit původní tenzorový vztah jako

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Dále se v této příručce, není-li uvedeno jinak, materiálová matice označuje \(D\) (nebo \(\hat{C}\)). Konkrétní složky pro izotropní lineární elasticitu naleznete v části Lineární elasticita.

Konvence diferenciálních operátorů

Operátor symetrického gradientu

Operátor symetrického gradientu \(\nabla_S\) pro vektorové pole \(\boldsymbol{u}\) je definován jako

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Ve složkovém zápisu platí \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Infinitesimální přetvoření \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) lze tímto operátorem vyjádřit kompaktně. Rozlišení konfigurací (referenční/aktuální), vzhledem k nimž se gradienty při konečné deformaci počítají, je popsáno v části Pohyb, deformace a přetvoření.

Materiálová časová derivace

Materiálová časová derivace veličiny \(A\) (časová derivace sledující tentýž materiálový bod) se označuje tečkou nad symbolem, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Rychlost a zrychlení se řídí touto konvencí.

Související témata

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status