Ga naar inhoud

Tensornotatie en wiskundige grondslagen

Dit hoofdstuk bundelt de conventies voor tensornotatie, indexnotatie en Voigt-notatie die in de volgende hoofdstukken van de FrontISTR-theoriehandleiding worden gebruikt. Hier worden uitsluitend zuivere notatieregels beschreven die niet afhangen van de definities van fysieke grootheden. Notatieconventies die afhangen van de configuratie die met continuümbeweging samenhangt (referentie-/huidige configuratie), zoals het onderscheid tussen hoofdletters en kleine letters en tussen materiële en ruimtelijke afgeleiden, staan in Beweging, vervorming en rek, waar het concept configuratie wordt ingevoerd.

Tensornotatie

Vetgedrukte vector- en tensornotatie

Als typografische conventie worden scalaire grootheden en componenten van vectoren en tensoren in normale letter weergegeven (zoals \(\rho\) en \(x_i\)), terwijl vector- en tensorgrootheden zelf vetgedrukt worden weergegeven (zoals \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) en \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Einstein-sommatieconventie

Tenzij anders vermeld, wordt de Einstein-sommatieconventie gebruikt: wanneer dezelfde index tweemaal in dezelfde term voorkomt, wordt over die index gesommeerd. Bijvoorbeeld,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

en de \(i,j\)-component van het product \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) van de tensoren \(\boldsymbol{A}\) en \(\boldsymbol{B}\) is

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Als indexconventie geldt dat wanneer \(i, j, k, l, \ldots\) zonder verdere kwalificatie als indices worden gebruikt, zij indices aanduiden die bij vrijheidsgraden horen (\(1, 2, 3\) in drie dimensies), terwijl kleine Griekse letters \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) als indices de knooppunten aanduiden waaruit een element bestaat.

Inwendig product, transponeren en tensorproduct

De getransponeerde tensor van \(\boldsymbol{A}\) wordt aangeduid met \(\boldsymbol{A}^T\). Het inwendig product (dubbele contractie) van tweede-orde tensoren \(\boldsymbol{A}\) en \(\boldsymbol{B}\) wordt geschreven als

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Het inwendig product van vectoren \(\boldsymbol{a}\) en \(\boldsymbol{b}\) is \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), en hun tensorproduct is \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt-notatie

Spanning en rek zijn symmetrische tweede-orde tensoren ten opzichte van de vrijheidsgraden, en de coëfficiënten die de lineaire relatie ertussen weergeven vormen een vierde-orde tensor. Rechtstreekse verwerking hiervan in een programma is ongunstig wat betreft rekenkosten en implementatie (multidimensionale arrays en diep geneste lussen). Daarom benutten algemene eindige-elementenprogramma's de symmetrie en comprimeren zij spanning en rek tot kolomvectoren en de vierde-orde elasticiteitstensor tot een tweedimensionale matrix. Dit heet Voigt-notatie.

Hierna wordt de matrix- of vectorrepresentatie van een tensorgrootheid \(\boldsymbol{A}\) aangeduid met \(\hat{A}\) om deze te onderscheiden van de oorspronkelijke tensor.

Vectorrepresentatie van spanning en rek

Voor de symmetrische spanningstensor \(\boldsymbol{\sigma}\) en rektensor \(\boldsymbol{\varepsilon}\) geldt in twee dimensies

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

in drie dimensies,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

worden zij als kolomvectoren behandeld zoals hierboven weergegeven. Dezelfde regel geldt voor afgeleide grootheden zoals variaties en differentialen. Merk op dat de schuifcomponenten aan de rekzijde een factor 2 hebben (aan de spanningszijde niet). Door deze asymmetrie kan het tensor-inwendig product compact worden geschreven als het vector-inwendig product

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

In de implementatie is de factor 2 bij de schuifrekcomponenten gemakkelijk verkeerd te behandelen, zodat de conventie "afwezig voor spanning / aanwezig voor rek" altijd in gedachten moet worden gehouden. Precies dezelfde Voigt-conventie wordt toegepast op grootheden in de referentieconfiguratie (de tweede Piola-Kirchhoff-spanning \(\boldsymbol{S}\) en Green-Lagrange-rek \(\boldsymbol{E}\)).

Matrixrepresentatie van een vierde-orde tensor

Voor de lineaire relatie tussen spanning en rek, \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (in componentvorm, \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), geeft het gebruik van de symmetrie van \(\boldsymbol{\varepsilon}\)

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

In drie dimensies kan door \(\tilde{C}\) als de 6×6-materiaalmatrix \(\hat{\tilde{C}}\) te rangschikken de oorspronkelijke tensorrelatie worden uitgedrukt als

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Hierna wordt in deze handleiding, tenzij anders vermeld, de materiaalmatrix aangeduid met \(D\) (of \(\hat{C}\)). Zie Lineaire elasticiteit voor de specifieke componenten bij isotrope lineaire elasticiteit.

Conventies voor differentiaaloperatoren

Symmetrische gradiëntoperator

De symmetrische gradiëntoperator \(\nabla_S\) voor een vectorveld \(\boldsymbol{u}\) wordt gedefinieerd als

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

In componentvorm is \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). De rek bij infinitesimale vervorming \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) kan compact met deze operator worden uitgedrukt. Het onderscheid tussen de configuraties (referentie/huidig) ten opzichte waarvan bij eindige vervorming gradiënten worden genomen, wordt behandeld in Beweging, vervorming en rek.

Materiële tijdsafgeleide

De materiële tijdsafgeleide van een grootheid \(A\) (de tijdsafgeleide die hetzelfde materiaalpunt volgt) wordt aangeduid met een punt als superscript, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Snelheid en versnelling volgen deze conventie.

Gerelateerde onderwerpen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status