Ga naar inhoud

Elastoplasticiteit

Dit hoofdstuk beschrijft het raamwerk van de elastoplastische constitutieve wet die door FrontISTR wordt gebruikt. Zie voor details over selectie en invoerspecificaties 03_material in het gedeelte Functies.

Fenomeen (plastische vervorming)

TBD (wordt in de volgende fase geschreven).

Raamwerk van de constitutieve wet

FrontISTR gebruikt een elastoplastische constitutieve vergelijking op basis van een geassocieerde vloeiregel. De constitutieve vergelijking drukt de relatie uit tussen de Jaumann-snelheid van de Kirchhoff-spanning en de vervormingssnelheidstensor, en voor de vervormingsanalyse wordt de Updated Lagrange-formulering gebruikt.

Neem aan dat de vloeivoorwaarde van een elastoplastisch materiaal als volgt wordt gegeven.

Initiële vloeivoorwaarde:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Latere vloeivoorwaarde:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

waarbij

  • \(F\): vloeifunctie
  • \(\sigma_{y_0}\): initiële vloeispanning
  • \(\sigma_y\): latere vloeispanning
  • \(\sigma\): spanningstensor
  • \(e\): infinitesimale rektensor
  • \(e^p\): plastische rektensor
  • \(\overline{e}^p\): equivalente plastische rek

De relatie tussen vloeispanning en equivalente plastische rek wordt verondersteld samen te vallen met de relatie tussen spanning en plastische rek in een eenassige toestand.

Relatie tussen spanning en plastische rek in een eenassige toestand

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

waarbij \(H'\) de rekverstevigingsmodulus is.

Relatie tussen equivalente spanning en equivalente plastische rek

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

In het algemeen is de latere vloeifunctie een functie van temperatuur en plastische-rekarbeid, maar ter vereenvoudiging wordt hier aangenomen dat zij alleen een functie is van de equivalente plastische rek \(\overline{e}^p\). Tijdens de voortgang van plastische vervorming moet \(F = 0\) blijven gelden, zodat aan de volgende vergelijking moet worden voldaan.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Hier duidt \(\dot{F}\) de tijdsafgeleide van \(F\) aan. Hierna wordt de tijdsafgeleide van een grootheid \(A\) aangeduid met \(\dot{A}\).

Neem aan dat er een plastische potentiaal \(\Theta\) bestaat en druk de plastische reksnelheid uit met de volgende vergelijking.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Hier is \(\dot{\lambda}\) een coëfficiënt.

Verder wordt, onder de aanname dat de plastische potentiaal \(\Theta\) gelijk is aan de vloeifunctie \(F\), de volgende geassocieerde vloeiregel gebruikt.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Substitutie van deze vergelijking in de consistentievoorwaarde geeft de volgende vergelijking.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Hier is \(D\) de elasticiteitsmatrix, en

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

De elastoplastische spanning-rekrelatie kan als volgt worden geschreven.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Zodra de vloeifunctie \(F\) van het elastoplastische materiaal bekend is, wordt de constitutieve vergelijking uit deze uitdrukking verkregen.

Vloeifuncties

De elastoplastische vloeifuncties die door FrontISTR worden gebruikt, worden hieronder vermeld.

Von Mises-vloeifunctie

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Hier is \(J_2\) de tweede invariant van de deviatorische spanningstensor.

Mohr-Coulomb-vloeifunctie

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Hier zijn \(\sigma_1, \sigma_3\) de maximale en minimale hoofdspanningen, \(c\) de cohesie en \(\phi\) de interne wrijvingshoek.

Drucker-Prager-vloeifunctie

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Hier worden de materiaalconstanten \(\alpha\) en \(\sigma_y\) als volgt berekend uit de materiaalcohesie en wrijvingshoek.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Gerelateerde onderwerpen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status