Ga naar inhoud

Virtuele arbeid van externe krachten en assemblage van de globale vergelijkingen

In Discretisatie van de virtuele arbeid van interne krachten werd de linkerzijde van de zwakke vorm teruggebracht tot de elementinternekrachtvector \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-methode) of \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-methode). Dit hoofdstuk introduceert uit de virtuele arbeid van externe krachten de elementknooppuntvector van externe krachten \(\boldsymbol{F}^e\) en past vervolgens de assemblage toe, waarbij elementknooppuntgrootheden volgens globaal knooppuntnummer worden herschikt en opgeteld. Uiteindelijk wordt zo het niet-lineaire stelsel van vergelijkingen in knooppuntverplaatsingen verkregen dat door de niet-lineaire structurele analyse van FrontISTR wordt opgelost.

Elementgewijze ontbinding van de virtuele arbeid van externe krachten

De rechterzijde van het Principe van virtuele arbeid kan elementgewijs worden ontbonden in de virtuele arbeid van externe krachten, bestaande uit volumekrachten en voorgeschreven oppervlaktekrachten op mechanische grenzen. Om de in Vormfuncties en eindige-elementenbenadering ingevoerde verplaatsingsinterpolatie in matrixvorm te schrijven, wordt voor de vormfunctie \(N_\alpha^e\) van knooppunt \(\alpha\) het blok \(\boldsymbol{N}_\alpha\) als een \(d \times d\)-diagonaalmatrix gedefinieerd en wordt \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) gevormd, zodat \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Substitutie hiervan in de virtuele arbeid van externe krachten, geschreven in de referentieconfiguratie, geeft

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

waarbij de elementknooppuntvector van externe krachten is gerangschikt als \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Daarmee wordt de virtuele arbeid van externe krachten teruggebracht tot dezelfde vorm "elementknooppuntvector × testfunctie" als de zijde van de interne krachten (in de huidige configuratie wordt dezelfde vorm verkregen door de substituties \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) en \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Assemblage van elementknooppuntgrootheden

De voor elk element verkregen knooppuntgrootheden \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) worden verzameld in globale vectoren die volgens globaal knooppuntnummer zijn geordend. Laat het globale knooppuntnummer dat overeenkomt met lokaal knooppuntnummer \(\alpha\) van element \(\Omega^e\) worden gegeven door

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Dan is een elementknooppuntgrootheid gelijk aan de overeenkomstige component van de globale knooppuntgrootheid (bijvoorbeeld \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Omdat een knooppunt \(i_g\) in het algemeen door meerdere elementen wordt gedeeld, definiëren we de verzameling van paren \((e, \alpha)\) waarvan het globale knooppuntnummer \(i_g\) is als

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Door met deze verzameling de som te herschrijven als \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) verkrijgen we de knooppuntinterne kracht en de globale internekrachtvector over alle \(n_g\) knooppunten:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Hier is \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) de resulterende kracht van de elementknooppuntinterne krachten die op knooppunt \(i_g\) werken, en deze is \(\boldsymbol{0}\) wanneer er geen externe kracht werkt en evenwicht is bereikt. Met dezelfde procedure worden in de UL-methode \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) verkregen; omdat hun numerieke waarden voldoen aan \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), wordt hieronder behalve waar onderscheid nodig is de notatie \(\boldsymbol{Q}\) gebruikt. De globale externe-krachtvector \(\boldsymbol{F}\) wordt door dezelfde accumulatie verkregen.

In de implementatie wordt de verzameling \(\mathcal{E}(i_g)\) niet expliciet opgebouwd; in plaats daarvan worden bijdragen binnen de elementlus aan de overeenkomstige componenten toegevoegd.

Initialiseer globale internekrachtvector Q op 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (aantal elementen)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

De globale externe-krachtvector \(\boldsymbol{F}\) wordt met dezelfde procedure opgebouwd. Deze bewerking waarbij elementknooppuntgrootheden worden opgeteld en opgeslagen in vectoren en matrices die volgens globaal knooppuntnummer zijn genummerd, heet assemblage (assemble). Voor tweede-orde tensoren die aan twee knooppuntnummers zijn gekoppeld (zoals stijfheidsmatrices) wordt een vergelijkbare assemblage verkregen met de verzameling \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (zie Tangentiële stijfheidsmatrix voor de concrete constructie).

Op te lossen niet-lineaire vergelijkingen

Door de geassembleerde interne en externe krachten in het Principe van virtuele arbeid te substitueren en te gebruiken dat dit geldt voor elke testfunctie \(\delta\boldsymbol{u}^n\) die aan de geometrische randvoorwaarden voldoet, volgt

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

In de context van incrementele analyse (Raamwerk van incrementele analyse) wordt de tijdindex \(_{n+1}\) opnieuw ingevoerd en wordt de superscriptindex \(^n\), die de globale knooppuntvector aanduidt, weggelaten. De op te lossen vergelijking is dan

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Daarmee wordt het gediscretiseerde randwaardeprobleem voor het bepalen van de knooppuntverplaatsing \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) op tijdstip \(t_{n+1}\) teruggebracht tot het samen met de geometrische randvoorwaarden oplossen van deze niet-lineaire vergelijking in de verplaatsing. De linearisatie van de vergelijking en de opbouw van de tangentiële stijfheidsmatrix worden beschreven in Tangentiële stijfheidsmatrix, en de iteratieve oplossingsmethode in Newton-Raphson-methode.

Gerelateerde onderwerpen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status