Frequentieresponsanalyse

Probleemformulering

Frequentieresponsanalyse evalueert in het frequentiedomein de stationaire responsamplitude en -fase van een systeem wanneer de externe kracht harmonisch in de tijd varieert. Omdat de bewegingsvergelijking met en zonder demping verschillend wordt behandeld, leidt dit hoofdstuk eerst de eigenmodi af uit ongedempte vrije trilling en gebruikt deze vervolgens als modale basis om de gedempte harmonische respons te ontwikkelen.

Ongedempte vrije trilling en eigenmodi

Wanneer demping wordt verwaarloosd, is de bewegingsvergelijking

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Het ontwikkelen van de verplaatsing in elke eigenmodus geeft

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Substitutie hiervan in vgl.\(\eqref{eq:2.6.1}\) geeft

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Dit is een gegeneraliseerd eigenwaardeprobleem. Numerieke oplossingsmethoden hiervoor, waaronder inverse iteratie met verschuiving en de Lanczos-methode, worden behandeld in Modale analyse. Deze sectie vat de eigenschappen van de resulterende eigenfrequenties en eigenmodi samen die in de daaropvolgende ontwikkeling van de harmonische respons worden gebruikt.

Realiteit van de eigenfrequenties

Dat de eigenfrequentie reëel is, kan als volgt worden aangetoond. Neem \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Het complex geconjugeerde nemen van vgl.\(\eqref{eq:2.6.3}\) geeft vgl.\(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Vermenigvuldigen met \(\overline{U}_J^T\) geeft

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Uit vgl.\(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Omdat de massamatrix symmetrisch positief-definiet is, geldt voor een niet-nulle eigenvector

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Daarom,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Dus is \(\omega_j^2 = \lambda_j\) reëel.

Orthogonaliteit en normalisatie van eigenmodi

Beschouw twee verschillende modi.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Daaruit volgt dat

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

en, wanneer de eigenwaarden verschillend zijn,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Verschillende eigenmodi zijn dus orthogonaal ten opzichte van de massamatrix. Voor dezelfde modus maakt normalisatie ten opzichte van de massamatrix, zoals in vgl.\(\eqref{eq:2.6.12}\), de verdere behandeling eenvoudiger.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Harmonische respons met demping

Vervolgens wordt de formulering van frequentieresponsanalyse met demping gegeven. De bepalende bewegingsvergelijking wordt gegeven door vgl.\(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

De dempingsterm wordt van het Rayleigh-type verondersteld en wordt uitgedrukt als vgl.\(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Met de uit de modale analyse verkregen eigenvectoren kan de verplaatsingsvector op tijdstip t worden ontwikkeld zoals in vgl.\(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Stel dat de externe-krachtterm de harmonische vorm heeft

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Vervolgens bepalen we \(b_{j}(t)\). Omdat de bewegingsvergelijking in vgl.\(\eqref{eq:2.6.13}\) de vorm van een gedwongen trilling heeft,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

geldt. De reële en imaginaire delen van de ontwikkelingscoëfficiënt \(b_{j}(t)\) worden respectievelijk gegeven door vgl.\(\eqref{eq:2.6.18}i\) en \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Dit levert de gezochte coëfficiënten van de harmonische respons op.

Gerelateerde onderwerpen

• Modale analyse — Formulering van het onderliggende eigenwaardeprobleem
• Methoden voor dynamische analyse — Dynamische analyse in het tijdsdomein
• Analysetypen — Functioneel overzicht van frequentieresponsanalyse