Sari la conținut

Analiza de răspuns în frecvență

Formularea problemei

Analiza de răspuns în frecvență evaluează amplitudinea și faza răspunsului în regim staționar al unui sistem în domeniul frecvenței atunci când forța externă variază armonic în timp. Deoarece ecuația de mișcare guvernantă este tratată diferit în prezența și în absența amortizării, acest capitol derivă mai întâi modurile proprii din vibrația liberă neamortizată și apoi le utilizează ca bază modală pentru dezvoltarea răspunsului armonic amortizat.

Vibrația liberă neamortizată și modurile proprii

Când amortizarea este neglijată, ecuația de mișcare este

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Dezvoltând deplasarea în fiecare mod propriu se obține

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Înlocuirea acesteia în ecuația \(\eqref{eq:2.6.1}\) conduce la

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Aceasta este o problemă generalizată de valori proprii. Metodele numerice de rezolvare, inclusiv iterația inversă deplasată și metoda Lanczos, sunt tratate în Analiza modală. Această secțiune sintetizează proprietățile frecvențelor proprii și ale modurilor proprii rezultate, utilizate în dezvoltarea ulterioară a răspunsului armonic.

Caracterul real al frecvențelor proprii

Se poate arăta că frecvența proprie este reală după cum urmează. Fie \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Luând conjugata complexă a ecuației \(\eqref{eq:2.6.3}\) se obține ecuația \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Înmulțind cu \(\overline{U}_J^T\) se obține

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Din ecuația \(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Deoarece matricea de masă este simetrică pozitiv definită, pentru un vector propriu nenul avem

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Prin urmare,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Astfel, \(\omega_j^2 = \lambda_j\) este reală.

Ortogonalitatea și normalizarea modurilor proprii

Considerăm două moduri diferite.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Rezultă că

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

și, când valorile proprii sunt diferite,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Astfel, modurile proprii diferite sunt ortogonale în raport cu matricea de masă. Pentru același mod, normalizarea în raport cu matricea de masă ca în ecuația \(\eqref{eq:2.6.12}\) simplifică tratarea ulterioară.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Răspuns armonic cu amortizare

În continuare este prezentată formularea analizei de răspuns în frecvență cu amortizare. Ecuația de mișcare guvernantă este dată de ecuația \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Se presupune că termenul de amortizare este de tip Rayleigh și este exprimat prin ecuația \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Folosind vectorii proprii obținuți din analiza modală, vectorul deplasărilor la timpul t poate fi dezvoltat ca în ecuația \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Presupunem că termenul forței externe are forma armonică

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Determinăm apoi \(b_{j}(t)\). Deoarece ecuația de mișcare din ecuația \(\eqref{eq:2.6.13}\) are forma unei vibrații forțate,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

este valabilă. Părțile reală și imaginară ale coeficientului de dezvoltare \(b_{j}(t)\) sunt date, respectiv, de ecuațiile \(\eqref{eq:2.6.18}i\) și \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Astfel se obțin coeficienții doriți ai răspunsului armonic.

Subiecte conexe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status