Verificare cu modele de formă simplă¶

Analiză statică elastică¶

Această verificare utilizează o grindă în consolă discretizată așa cum se arată în Figura 9.1.1. Au fost efectuate analize pentru șapte cazuri, de la exA la exG, variind condițiile de încărcare așa cum se arată în Figura 9.1.2. Cazul exG are aceleași condiții de încărcare ca exA, dar utilizează un solver direct.

Rezultatul verificării pentru fiecare condiție de încărcare este prezentat în Tabelele 9.1.1–9.1.7.

Fig. 9.1.1 Exemplu de discretizare a grinzii în consolă (elemente hexaedrice)


	(a) exA, G: Sarcină concentrată
	(b) exD: Gravitație
	(c) exB: Sarcină distribuită pe suprafață
	(d) exE: Forță centrifugă
	(e) exC: Sarcină volumică
	(f) exF : Sarcină termică

Element	Valoare
Modulul lui Young	\(E = 4000.0\ kgf/mm^2\)
Lungime	\(L = 10.0\ mm\)
Coeficientul lui Poisson	\(\nu = 0.3\)
Aria secțiunii	\(A = 1.0\ mm^2\)
Densitatea de masă	\(\rho = 8.0102 x 10^{-10}\ kg\,s^2/mm^4\)
Momentul de inerție al ariei	\(I = 1.0/12.0\ mm^4\)
Accelerația gravitațională	\(g = 9800.0\ mm/s^2\)
Coeficientul liniar de dilatare termică	\(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Tabelul 9.1.2 Condiții de verificare pentru modelul grinzii în consolă

Tabelul 9.1.1: exA: Rezultatele verificării problemei cu sarcină concentrată

Numele cazului	Număr de elemente		Valoare estimată : \(\delta_{max}= -1.000\)		Observații
		NASTRAN	Comercial	FrontISTR
A231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
A232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
A241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
A242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
A341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 noduri
A342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525 noduri
A351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 noduri
A352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 noduri
A361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 noduri
A362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 noduri
A731	40	-	-	-0.991	33 noduri / metodă directă
A741	20	-	-	-0.996	33 noduri / metodă directă

Tabelul 9.1.2: exB: Rezultatele verificării problemei cu sarcină distribuită pe suprafață

Numele cazului	Număr de elemente		Valoare estimată : \(\delta_{max}= -3.750\)		Observații
		NASTRAN	Comercial	FrontISTR
B231	40	-1.281	-1.403	-1.403	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
B232	40	-3.579	-3.763	-3.763	105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
B241	20	-3.198	-2.680	-2.680	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
B242	20	-3.426	-3.765	-3.765	85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
B341	240	-1.088	-1.449	-1.454	99 noduri
B342	240	-3.704	-3.704	-3.748	525 noduri
B351	80	-3.547	-1.338	-1.325	99 noduri
B352	80	-0.3717	-3.716	-3.713	381 noduri
B361	40	-3.557	-3.691	-3.688	99 noduri
B362	40	-3.726	-3.717	-3.717	220 noduri
B731	40	-	-	-3.722	33 noduri / metodă directă
B741	20	-	-	-3.743	33 noduri / metodă directă

Tabelul 9.1.3: exC: Rezultatele verificării problemei cu sarcină volumică

Numele cazului	Număr de elemente		Valoare estimată : \(\delta_{max}= -2.944^{-5}\)		Observații
		NASTRAN	Comercial	FrontISTR
C231	40	-	-1.101e-5	-1.101e-5	33 noduri / problemă de tensiune plană
C232	40	-	-2.951e-5	-2.951e-5	105 noduri / problemă de tensiune plană
C241	20	-	-2.102e-5	-2.102e-5	33 noduri / problemă de tensiune plană
C242	20	-	-2.953e-5	-2.953e-5	85 noduri / problemă de tensiune plană
C341	240	-	-1.136e-5	-1.140e-5	99 noduri
C342	240	-	-2.905e-5	-2.937e-5	525 noduri
C351	80	-	-1.050e-5	-1.039e-5	99 noduri
C352	80	-	-2.914e-5	-2.911e-5	381 noduri
C361	40	-	-2.895e-5	-2.893e-5	99 noduri
C362	40	-	-2.915e-5	-2.915e-5	220 noduri
C731	40	-	-	-2.922e-5	33 noduri / metodă directă
C741	20	-	-	-2.938e-5	33 noduri / metodă directă

Tabelul 9.1.4: exD: Rezultatele verificării problemei de gravitație

Numele cazului	Număr de elemente		Valoare estimată : \(\delta_{max}= -2.944^{-5}\)		Observații
		NASTRAN	Comercial	FrontISTR
D231	40	-1.101e-5	-1.101e-5	-1.101e-5	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
D232	40	-2.805e-5	-2.951e-5	-2.951e-5	105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
D241	20	-2.508e-5	-2.102e-5	-2.102e-5	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
D242	20	-2.684e-5	-2.953e-5	-2.953e-5	85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
D341	240	-1.172e-5	-1.136e-5	-1.140e-5	99 noduri
D342	240	-2.906e-5	-2.905e-5	-2.937e-5	525 noduri
D351	80	-1.046e-5	-1.050e-5	-1.039e-5	99 noduri
D352	80	-2.917e-5	-2.914e-5	-2.911e-5	381 noduri
D361	40	-2.800e-5	-2.895e-5	-2.893e-5	99 noduri
D362	40	-2.919e-5	-2.915e-5	-2.915e-5	220 noduri
D731	40	-	-	-2.922e-5	33 noduri / metodă directă
D741	20	-	-	-2.938e-5	33 noduri / metodă directă

Tabelul 9.1.5: exE: Rezultatele verificării problemei cu forță centrifugă

Numele cazului	Număr de elemente		Valoare estimată : \(\delta_{max}= 2.635^{-3}\)		Observații
		NASTRAN	Comercial	FrontISTR
E231	40	2.410e-3	2.616e-3	2.650e-3	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
E232	40	2.447e-3	2.627e-3	2.628e-3	105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
E241	20	2.386e-3	2.622e-3	2.624e-3	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
E242	20	2.387e-3	2.627e-3	2.629e-3	85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
E341	240	2.708e-3	2.579e-3	2.625e-3	99 noduri
E342	240	2.639e-3	2.614e-3	2.638e-3	525 noduri
E351	80	2.642e-3	2.598e-3	2.625e-3	99 noduri
E352	80	2.664e-3	2.617e-3	2.616e-3	381 noduri
E361	40	2.611e-3	2.603e-3	2.603e-3	99 noduri
E362	40	2.623e-3	2.616e-3	2.616e-3	220 noduri
E731	40	-	-	2.619e-3	33 noduri / metodă directă
E741	20	-	-	2.622e-3	33 noduri / metodă directă

Tabelul 9.1.6: exF: Rezultatele verificării problemei cu sarcină de tensiune termică

Numele cazului	Număr de elemente		Valoare estimată : \(\delta_{max}= 1.000^{-2}\)		Observații
		NASTRAN	Comercial	FrontISTR
F231	40	-	1.016e-2	1.007e-2	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
F232	40	-	1.007e-2	1.007e-2	105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
F241	20	-	1.010e-2	1.010e-2	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
F242	20	-	1.006e-2	1.006e-2	85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
F341	240	-	1.047e-2	1.083e-2	99 noduri
F342	240	-	1.018e-2	1.022e-2	525 noduri
F351	80	-	1.031e-2	1.062e-2	99 noduri
F352	80	-	1.015e-2	1.017e-2	381 noduri
F361	40	-	1.026e-2	1.026e-2	99 noduri
F362	40	-	1.016e-2	1.016e-2	220 noduri

Tabelul 9.1.7: exG: Rezultatele verificării metodei directe (problema cu sarcină concentrată)

Numele cazului	Număr de elemente		Valoare estimată: δmax= -1.000		Observații
		NASTRAN	Comercial	FrontISTR
G231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
G232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
G241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
G242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
G341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 noduri
G342	240	-0.990	-0.990	-0.999	52 noduri
G351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 noduri
G352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 noduri
G361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 noduri
G362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 noduri
G731	40	-	-	-0.991	33 noduri / metodă directă
G741	20	-	-	-0.996	33 noduri / metodă directă

Analiză statică neliniară¶

(2-1) exnl1: Analiză neliniară geometrică¶

Modelul de verificare pentru cazul exI este identic cu modelele pentru cazurile exA până la exG. Figura 9.1.3 prezintă o schemă a modelului de verificare. Pe acest model se efectuează o analiză neliniară geometrică. Rezultatele verificării sunt prezentate în Tabelul 9.1.8.

Calculul neliniar utilizează 10 pași de încărcare, cu un increment de sarcină de 0.1P până la sarcina finală de 1.0P.

Fig. 9.1.3 Model de verificare

Tabelul 9.1.8 exI: Rezultatele verificării (istoricul săgeții maxime)

Numele cazului	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	Soluție liniară
I231	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I232	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I241	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I242	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I341	0.039	0.077	0.116	0.154	0.193	0.232	0.270	0.309	0.348	0.386	0.386
I342	0.099	0.200	0.300	0.400	0.499	0.599	0.698	0.797	0.896	0.995	0.999
I351	0.035	0.070	0.105	0.141	0.176	0.211	0.246	0.281	0.316	0.351	0.351
I352	0.099	0.198	0.298	0.397	0.496	0.595	0.693	0.792	0.890	0.987	0.992
I361	0.070	0.139	0.209	0.278	0.348	0.417	0.487	0.556	0.625	0.694	0.984
I362	0.099	0.197	0.298	0.397	0.496	0.595	0.694	0.793	0.891	0.988	0.993

(2-2) exnl2: Analiză a deformației elastoplastice¶

Această problemă de verificare se bazează pe Testul NL1 al National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), NAFEMS, și efectuează o analiză a deformației elastoplastice care include neliniaritatea geometrică și mai multe legi de ecruisare. Figura 9.1.4 prezintă modelul de analiză.

Model de analiză a deformației elastoplastice

Fig. 9.1.4 Model de analiză a deformației elastoplastice

(1) Condiții de verificare

Element	Valoare
Material	material elastoplastic Mises
Modulul lui Young	\(E = 250 GPa\)
Coeficientul lui Poisson	\(\nu=0.25\)
Tensiune inițială de curgere	\(5 MPa\)
Deformație inițială de curgere	\(0.25\times10^{-4}\)
Coeficient de ecruisare izotropă	\(H_i = 0\) sau \(62.5 GPa\)

(2) Condiții la limită

Element	Condiție la limită	Valoare
Pasul 1	Deplasare prescrisă la nodurile 2 și 3	\(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Pasul 2	Deplasare prescrisă la nodurile 2 și 3	\(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Pasul 3	Deplasare prescrisă la nodurile 3 și 4	\(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Pasul 4	Deplasare prescrisă la nodurile 3 și 4	\(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Pasul 5	Deplasare prescrisă la nodurile 2 și 3	\(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Pasul 6	Deplasare prescrisă la nodurile 2 și 3	\(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Pasul 7	Deplasare prescrisă la nodurile 3 și 4	\(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Pasul 8	Deplasare prescrisă la nodurile 3 și 4	\(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Toate nodurile care nu sunt enumerate aici sunt complet constrânse. Soluția teoretică pentru această problemă este următoarea.

Deformație (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Tensiune echivalentă (\(MPa\)) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0	5.0; 5.0
0.50, 0, 0	5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0	5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0	5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0	5.0; 6.640
0, 0.50, 0	5.0; 7.322
0, 0.25, 0	3.917; 4.230
0, 0, 0	5.0; 5.673

Pentru comparație, rezultatele calculului sunt următoarele.

Deformație (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Tensiune echivalentă (\(MPa\) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)])
\(\varepsilon_{x}\)	\(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0	5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0	3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Analiza de contact (1)¶

Această problemă de verificare se bazează pe problema de testare a zonei de contact CGS-4 a National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), și testează capabilitatea de contact cu alunecare finită și frecare. Figura 9.1.5 prezintă modelul de analiză.

Model de analiză de contact

Fig. 9.1.5 Model de analiză de contact

Condiția de echilibru pentru această problemă este următoarea.

\[ Fcos\alpha - Gsin\alpha = \pm f_{c} \]

În etapa de frecare cu aderență, forța de frecare este [ f_{c} = E_{t}\text{Δu} ] iar în etapa de frecare cu alunecare, aceasta este [ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) ] .

Comparația dintre rezultatele calculului și soluția analitică este următoarea.

\(\mu\)	\(F/G\) Soluție analitică	\(F/G\) Rezultatele calculului
0.0	0.1	0.1
0.1	0.202	0.202
0.2	0.306	0.306
0.3	0.412	0.412

Analiza de contact (2): problema de contact Hertz¶

Această verificare analizează problema de contact Hertz dintre un cilindru infinit de lung și un plan infinit. Raza cilindrului este R=8mm, iar modulul lui Young E și coeficientul lui Poisson µ ale corpului deformabil sunt, respectiv, 1100Mpa și 0.0. Se presupune că aria de contact este suficient de mică în raport cu raza cilindrului și, ținând seama de simetria problemei, se analizează un model de un sfert de cilindru.

Fig. 9.1.6 Model de analiză pentru problema de contact Hertz

(1) Rezultatele verificării razei de contact¶

Formula teoretică pentru calcularea razei de contact este următoarea:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

unde [ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) ] . În condițiile de calcul de față, când presiunea este \(F=100\), raza de contact este \(a=1.36\).

Figura 9.1.7 prezintă forțele nodale echivalente în punctele de contact. Raza de contact se obține prin extrapolarea acestei distribuții a forțelor nodale.

Distribuția forțelor nodale echivalente în punctele de contact

Fig. 9.1.7 Distribuția forțelor nodale echivalente în punctele de contact

(2) Rezultatele verificării tensiunii tangențiale maxime¶

În soluția teoretică, la poziția de contact [ z = 0.78a ] tensiunea tangențială maximă este [ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} ] . În condițiile de calcul de față, [ \tau_{\max} = 14.2 ] . Prin comparație, calculul dă [ \tau_{\max} = 15.6 ] .

Fig. 9.1.8 Distribuția tensiunii tangențiale (valoare maximă = 15.6)

(3) Analiză modală¶

Modelele de verificare pentru cazurile exJ și exK sunt identice cu modelele pentru cazurile exA până la exG. Figura 9.1.9 prezintă o schemă a modelului de verificare. Pe acest model se efectuează o analiză modală. Se calculează valorile proprii de la prima până la a treia. Cazul exJ utilizează un solver iterativ, în timp ce cazul exK utilizează un solver direct. Rezultatele verificării sunt prezentate în Tabelele 9.1.9 până la 9.1.12.

Fig. 9.1.9 Model de verificare

Frecvențele proprii ale grinzii în consolă se obțin din următoarele ecuații.

Primul mod [ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Al doilea mod [ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Al treilea mod [ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ]

Valorile proprietăților modelului de verificare sunt

Element	Valoare
\(I\)	\(10.0 mm\)
\(E\)	\(4000.0 kgf /mm^2\)
\(l\)	\(1.0/12.0 mm^4\)
\(\omega\)	\(7.85 * 10^{-6} kgf/mm^3\)
\(g\)	\(9800.0 mm/sec^2\)

Astfel, valorile proprii până la al treilea mod sunt următoarele:

Numărul modului	Valoare
\(n_1\)	3.609e3
\(n_2\)	2.262e4
\(n_3\)	6.335e4

Tabelul 9.1.9: exJ: Rezultatele verificării prin metoda iterativă pentru prima valoare proprie

Numele cazului	Număr de elemente	Valoare estimată : n1=3.609e3		Observații
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 noduri
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 noduri
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 noduri
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 noduri
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 noduri
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 noduri

Tabelul 9.1.10: Rezultatele verificării exJ prin metoda iterativă pentru a doua valoare proprie

Numele cazului	Număr de elemente	Valoare estimată : n2=2.262e4		Observații
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 noduri
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 noduri
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 noduri
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 noduri
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 noduri
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 noduri

Notă: În modelele tridimensionale (3D), prima și a doua valoare au rădăcini egale. Prin urmare, a doua valoare din tabel reprezintă a treia valoare calculată.

Tabelul 9.1.11: Rezultatele verificării exK prin metoda directă pentru prima valoare proprie

Numele cazului	Număr de elemente	Valoare estimată : n1=3.609e3		Observații
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 noduri
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 noduri
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 noduri
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 noduri
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 noduri
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 noduri
J731	40	-	3.606e3	220 noduri
J741	20	-	3.594e3	220 noduri

Tabelul 9.1.12: Rezultatele verificării exK prin metoda directă pentru a doua valoare proprie

Numele cazului	Număr de elemente	Valoare estimată : n2=2.262e4		Observații
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 noduri / problemă în stare plană de tensiune
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 noduri
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 noduri
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 noduri
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 noduri
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 noduri
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 noduri
J731	40	-	2.156e4	220 noduri
J741	20	-	2.153e4	220 noduri

Notă: În modelele 3D, prima și a doua valoare au rădăcini egale. Prin urmare, a doua valoare din tabel reprezintă a treia valoare calculată.

(4) Analiză de conducție termică¶

Condițiile comune pentru analizele de conducție termică în regim staționar sunt prezentate în Figura 9.1.10. Condițiile individuale pentru cazurile de verificare exM până la exT sunt prezentate în Figura 9.1.11. Discretizarea este echivalentă cu cea utilizată pentru exA.

Rezultatele verificării (tabelul distribuției temperaturii) pentru fiecare caz sunt prezentate în Tabelele 9.1.13–9.1.20.

Analiză de conducție termică


Lungimea între A și B	\(L = 10.0m\)
Aria secțiunii transversale	\(A = 1.0 mm^2\)

Dependența conductivității termice de temperatură

Conductivitate termică \(\lambda(W/mK)\)	Temperatură \((^\circ C)\)
50.0	0.0
35.0	500.0
20.0	1000.0

Fig. 9.1.10: Condiții de verificare pentru analiza conducției termice în regim staționar


exM: Material liniar
exN: Problemă cu temperatură prescrisă
exO: Problemă cu flux termic concentrat
exP: Problemă cu flux termic distribuit
exQ: Problemă de transfer termic convectiv
exR: Problemă de transfer termic prin radiație
exS: Problemă de generare volumică de căldură
exT: Problemă cu interstițiu intern

Fig. 9.1.11: Condiții de analiză pentru fiecare caz de verificare

Tabelul 9.1.13: Rezultatele verificării exM (calcul în regim staționar pentru material liniar)

Numele cazului	Tip de element	Elemente/noduri	Distanța față de capătul A (m)
			Capătul A	2.0	4.0	6.0	8,0	Capătul B
M361A	361	40／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361B	361	40／105	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361C	361	20／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361D	361	20／85	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361E	361	240／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361F	361	24／525	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361G	361	80／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0

Tabelul 9.1.14: Rezultatele verificării exN (problemă cu temperatură prescrisă)

Numele cazului	Tip de element	Elemente/noduri	Distanța față de capătul A (m)
			Capătul A	2.0	4.0	6.0	8,0	Capătul B
Comercial	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N231	231	40／33	0.0	87.2	179.5	278.0	384.1	500.0
N232	232	40／105	0.0	86.0	178.3	276.8	382.9	500.0
N241	241	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N242	242	20／85	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N341	341	240／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N342	342	24／525	0.0	87.9	179.9	278.0	383.6	500.0
N351	351	80／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N352	352	80／381	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N361	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N362	362	40／330	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N731	731	40／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N741	741	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0

Tabelul 9.1.15: Rezultatele verificării exO (problemă cu flux termic concentrat)

Numele cazului	Tip de element	Elemente/noduri	Distanța față de capătul A (m)
			Capătul A	2.0	4.0	6.0	8,0	Capătul B
Comercial	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.4	465.2	618.0
O341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
O342	342	24／525	0.0	104.4	214.9	334.7	466.3	614.6
O351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
O352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	465.0	624.2
O361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	623.5
O731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
O741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabelul 9.1.16: Rezultatele verificării exP (problemă cu flux termic distribuit)

Numele cazului	Tip de element	Elemente/noduri	Distanța față de capătul A (m)
			Capătul A	2.0	4.0	6.0	8,0	Capătul B
Comercial	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
P342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
P352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	612.6
P731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
P741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabelul 9.1.17: Rezultatele verificării exQ (problemă de transfer termic convectiv)

Numele cazului	Tip de element	Elemente/noduri	Distanța față de capătul A (m)
			Capătul A	2.0	4.0	6.0	8,0	Capătul B
Comercial	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q231	231	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q232	232	40／105	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q241	241	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q242	242	20／85	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
Q342	342	24／525	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
Q352	352	80／381	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q361	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q362	362	40／330	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q731	731	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q741	741	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2

Tabelul 9.1.18: Rezultatele verificării exR (problemă de transfer termic prin radiație)

Numele cazului	Tip de element	Elemente/noduri	Distanța față de capătul A (m)
			Capătul A	2.0	4.0	6.0	8,0	Capătul B
Comercial	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R231	231	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R232	232	40／105	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R241	241	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R242	242	20／85	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
R342	342	24／525	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
R352	352	80／381	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R361	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R362	362	40／330	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R731	731	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R741	741	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2

Tabelul 9.1.19: Rezultatele verificării exS (problemă de generare volumică de căldură)

Numele cazului	Tip de element	Elemente/noduri	Distanța față de capătul A (m)
			Capătul A	2.0	4.0	6.0	8,0	Capătul B
Comercial	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabelul 9.1.20: Rezultatele verificării exT (problemă cu interstițiu intern)

Numele cazului	Tip de element	Elemente/noduri	Distanța față de capătul A (m)
			Capătul A	2.0	4.0	6.0	8,0	Capătul B
Comercial	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S231	231	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S232	232	40／105	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S241	241	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S242	242	20／85	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S361	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S362	362	40／330	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S731	731	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S741	741	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0

(5) Analiză dinamică liniară¶

În exW se efectuează o analiză dinamică liniară pe aceeași grindă în consolă ca la punctul (1). Figura 9.1.12 prezintă condițiile de verificare. Pentru aceeași discretizare, se verifică efectul incrementului de timp asupra rezultatelor. Se utilizează atât metode implicite, cât și explicite de integrare în timp, cu tipurile de elemente 361 și 342. Rezultatele verificării sunt prezentate în Tabelul 9.1.22 și în Figurile 9.1.13 până la 9.1.15.

Model de analiză

Istoricul în timp al forței externe F

Soluția teoretică pentru deplasarea punctului de vibrație este următoarea:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

unde

\[ F_0:vector\ constant \]

\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]

\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Fig. 9.1.12: Condiții de verificare pentru analiza dinamică liniară

Condiții de verificare:


Lungime	\(L\)	\(10.0\ mm\)
Lățimea secțiunii transversale	\(a\)	\(1.0\ mm\)
Înălțimea secțiunii transversale	\(b\)	\(1.0\ mm\)
Modulul lui Young	\(E\)	\(4000.0\ kgf/mm^2\)
Coeficientul lui Poisson	\(\nu\)	\(0.3\)
Densitate	\(\rho\)	\(1.0E-09\ kgf\,s^2/mm^3\)
Accelerația gravitațională	\(g\)	\(9800.0\ mm/s^2\)
Forță externă	\(F_0\)	\(1.0\ kgf\)


Element	Element hexaedric liniar
Element tetraedric de ordinul al doilea
Soluție	metodă implicită
Parametrul \(\gamma\) al metodei Newmark-\(\beta\)	1/2
Parametrul \(\beta\) al metodei Newmark-\(\beta\)	1/4
metodă explicită
Amortizare	Niciuna

Tabelul 9.1.21: Condiții de verificare pentru analiza dinamică liniară (continuare)

Numele cazului	Tip de element	Nr. de noduri	Nr. de elemente	Soluție	Increment de timp \(\Delta t\) [sec]
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	metodă implicită	1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	metodă implicită	1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	metodă implicită	1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	metodă implicită	1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	metodă implicită	1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	metodă implicită	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	metodă explicită	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	metodă explicită	1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	metodă explicită	1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	metodă explicită	1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	metodă explicită	5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	metodă explicită	1.0E-07

Tabelul 9.1.22: Rezultatele verificării analizei dinamice liniare exW (grindă în consolă)

Numele cazului	Tip de element	Număr de noduri	Număr de elemente	Metodă	deplasarea pe direcția z la timpul t=0.002 sec [mm]
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	metodă implicită	1.9753	1.9302
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	metodă implicită	1.9753	1.8686
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	metodă implicită	1.9753	0.3794
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	metodă implicită	1.9753	1.9302
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	metodă implicită	1.9753	1.9247
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	metodă implicită	1.9753	Divergent
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	metodă explicită	1.9753	1.9431
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	metodă explicită	1.9753	1.8719
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	metodă explicită	1.9753	0.3873
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	metodă explicită	1.9753	1.9359
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	metodă explicită	1.9753	1.9358
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	metodă explicită	1.9753	Divergent

Diagrama de deformație și distribuția tensiunii echivalente ale grinzii în consolă (W361_c0_im_m2_t2)

Fig. 9.1.13: Diagrama de deformație și distribuția tensiunii echivalente ale grinzii în consolă (W361_c0_im_m2_t2)

(a) Tip de element 361 : metodă implicită

(a) Tip de element 361: metodă implicită

(b) Tip de element 361 : metodă explicită

(b) Tip de element 361: metodă explicită

Fig. 9.1.14 Istoricul în timp al deplasării punctului de excitație \(u_z\)

(a) Tip de element 342: metodă implicită

(b) Tip de element 342: metodă explicită

Fig. 9.1.14: Istoricul în timp al deplasării punctului de vibrație \(u_z\)

Analiză de răspuns în frecvență¶

În această verificare se efectuează o analiză de răspuns în frecvență pe o grindă în consolă și se validează prin comparație cu rezultatele unui solver comercial de uz general. Modelul de analiză și condițiile de verificare sunt prezentate mai jos.

Condiții de analiză:


Modulul lui Young	\(E\)	\(210000\ N/mm^2\)
Coeficientul lui Poisson	\(\nu\)	\(0.3\)
Densitate	\(\rho\)	\(7.89E-09\ t/mm^3\)
Accelerația gravitațională	\(g\)	\(9800.0\ mm/s^2\)
Sarcină	\(F_0\)	\(1.0\ N\)
Parametru al amortizării Rayleigh	\(R_m\)	\(0.0\)
Parametru al amortizării Rayleigh	\(R_k\)	\(7.2E-07\)

Fig. 9.1.15: Model de analiză (element tetraedric liniar (126 de elemente și 55 de noduri))

Valorile proprii până la ordinul al cincilea și răspunsul în frecvență al punctelor de vibrație obținute prin analiza valorilor proprii sunt următoarele:

mod	FrontISTR	Comercial
1	14952	14952
2	15002	15003
3	84604	84539
4	84771	84697
5	127054	126852

Dependența de frecvență a amplitudinii deplasării punctelor de vibrație

Fig. 9.1.16: Dependența de frecvență a amplitudinii deplasării punctelor de vibrație