Lista simbolurilor mărimilor fizice¶

Această pagină enumeră simbolurile mărimilor fizice utilizate în manualul teoretic FrontISTR. Pentru convențiile de notație (scrierea cu caractere aldine a vectorilor și tensorilor, convenția de sumare Einstein și notația Voigt), consultați Notație tensorială și fundamente matematice.

Configurații și sisteme de coordonate¶

Simbol	Descriere
\(\boldsymbol{X}\)	Vectorul de poziție al unui punct material în configurația de referință (inițială) (coordonate materiale)
\(\boldsymbol{x}\)	Vectorul de poziție al unui punct material în configurația curentă (coordonate spațiale)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\)	Aplicația de mișcare: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\)	Domeniul ocupat de corp în configurația de referință
\(\Omega\)	Domeniul ocupat de corp în configurația curentă
\(\Gamma_0\)	Frontiera lui \(\Omega_0\)
\(\Gamma\)	Frontiera lui \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\)	Frontieră geometrică (deplasare): frontiera din configurația curentă/de referință pe care \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) este impusă
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\)	Frontieră mecanică: frontiera din configurația curentă/de referință pe care \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (sau \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) este impusă
\(\boldsymbol{n}\)	Vector normal unitar exterior la o suprafață în configurația curentă
\(\boldsymbol{N}\)	Vector normal unitar exterior la o suprafață în configurația de referință
\(t\)	Timp

Convenție: Mărimile fizice din configurația de referință sunt notate cu litere majuscule sau cu indicele \(0\), iar mărimile din configurația curentă sunt notate cu litere mici.

Timp și incremente (analiză incrementală)¶

Simbol	Descriere
\(\Delta t\)	Increment de timp: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\)	Mărime fizică la timpul \(t\) (superscript stânga). Exemplu: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) este tensiunea Cauchy la timpul \(t\)
\(^{t}\Omega\)	Domeniul configurației curente la timpul \(t\)
\(^{t}\Gamma\)	Frontiera configurației curente la timpul \(t\)

Convenție: În analiza incrementală, starea până la timpul \(t\) este tratată ca fiind cunoscută, iar starea la timpul \(t + \Delta t\) este rezolvată ca necunoscută. Superscriptul stâng este omis atunci când timpul nu trebuie precizat explicit. O formulare care utilizează configurația de referință \(\Omega_0\) drept referință se numește formularea Lagrangianului total, iar o formulare care utilizează configurația curentă \(^{t}\Omega\) de la începutul incrementului drept referință se numește formularea Lagrangianului actualizat.

Deplasare, viteză, accelerație și forță volumică¶

Simbol	Descriere
\(\boldsymbol{u}\)	Vector de deplasare: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\)	Deplasare impusă pe frontiera geometrică \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\)	Deplasare virtuală (funcție de test): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) on \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\)	Vector de viteză: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\)	Vector de accelerație: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\)	Forță volumică (pe unitatea de masă)
\(\boldsymbol{t}\)	Vector de tracțiune (pe unitatea de suprafață): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\)	Tracțiune impusă pe frontiera mecanică \(\Gamma_t\) (date Neumann)

Operatori diferențiali¶

Simbol	Descriere
\(\dot{(\cdot)}\)	Derivată materială în timp (derivata temporală urmărind același punct material): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\)	Gradient în configurația de referință (gradient în raport cu coordonatele materiale \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\)	Gradient în configurația curentă (gradient în raport cu coordonatele spațiale \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\)	Operator gradient simetric: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Notă: \(\nabla_X\) și \(\nabla_x\) sunt legate prin \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Un gradient fără indice, \(\nabla\), este utilizat atunci când configurația este clară din context sau când distincția dispare, ca în problemele cu deformații mici.

Tensori de deformație¶

Simbol	Descriere
\(\boldsymbol{F}\)	Tensorul gradientului de deformație: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\)	Raport de volum: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\)	Tensor de deformație Cauchy-Green drept: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\)	Tensor de deformație Cauchy-Green stâng: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\)	Tensorul gradientului de viteză: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\)	Tensorul vitezei de deformație (partea simetrică a lui \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\)	Tensor de rotație (partea antisimetrică a lui \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tensori de deformație specifică¶

Simbol	Descriere
\(\boldsymbol{E}\)	Tensor de deformație Green-Lagrange (configurația de referință): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\)	Tensor de deformație Almansi (configurația curentă): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\)	Partea liniară a tensorului de deformație Almansi (gradientul simetric al deplasării în configurația curentă): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\)	Tensor de deformație infinitezimală (aproximație liniară): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Notă: \(\boldsymbol{E}\) este utilizat în principal în formularea Lagrangianului total, iar \(\boldsymbol{D}\) este utilizat în principal în formularea Lagrangianului actualizat.

Tensori de tensiune¶

Simbol	Descriere
\(\boldsymbol{\sigma}\)	Tensorul tensiunii Cauchy (tensiune adevărată, configurația curentă): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\)	Primul tensor de tensiune Piola-Kirchhoff (tensiune nominală): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\)	Al doilea tensor de tensiune Piola-Kirchhoff (configurația de referință, simetric): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Relațiile de transformare dintre tensorii de tensiune:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Convenție: Formularea Lagrangianului total utilizează perechea \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), iar formularea Lagrangianului actualizat utilizează perechea \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Densitate și masă¶

Simbol	Descriere
\(\rho\)	Densitate masică în configurația curentă
\(\rho_0\)	Densitate masică în configurația de referință

Conservarea masei: \(\rho_0 = J\rho\).

Constante de material (elasticitate liniară)¶

Simbol	Descriere
\(E\)	Modulul lui Young
\(\nu\)	Coeficientul lui Poisson
\(\lambda\)	Prima constantă Lamé: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\)	A doua constantă Lamé (modul de forfecare): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\)	Tensor de elasticitate (ordinul al patrulea): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), componentele \(C_{ijkl}\)
\(D\) (sau \(\hat{\tilde{C}}\))	Matrice de material (notație Voigt, \(6\times6\) în 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Componentele tensorului de elasticitate pentru un material elastic liniar izotrop:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Materiale hiperelastice¶

Simbol	Descriere
\(W(\boldsymbol{C})\)	Funcție de potențial elastic (funcție de densitate a energiei de deformație)
\(I_1, I_2, I_3\)	Invarianții principali ai tensorului Cauchy-Green drept \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\)	Invarianții reduși ai lui \(\boldsymbol{C}\) (variația volumică separată)
\(C_1, C_2\)	Constantele de material ale modelului Mooney-Rivlin
\(D\)	Constantă de material asociată elasticității volumice

Materiale elastoplastice¶

Simbol	Descriere
\(\boldsymbol{D}^e\)	Componenta elastică a tensorului vitezei de deformație
\(\boldsymbol{D}^p\)	Componenta plastică a tensorului vitezei de deformație
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\)	Funcție de curgere
\(\kappa\)	Variabilă internă care reprezintă starea plastică (variabilă de ecruisare izotropă)
\(\lambda^p\)	Multiplicator plastic (multiplicator al vitezei de deformație plastică): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\)	Potențial plastic (\(\Theta = F\) pentru o regulă de curgere asociată)
\(\bar{\sigma}\)	Tensiune echivalentă (de ex., tensiune von Mises)
\(\bar{\varepsilon}^p\)	Deformație plastică echivalentă
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\)	Funcție de ecruisare izotropă

Condiția de complementaritate: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Metoda elementelor finite¶

Simbol	Descriere
\(\Omega^h, \Omega_0^h\)	Domenii în configurațiile curentă și de referință aproximate prin discretizarea cu elemente finite: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\)	Domeniul elementului în configurațiile curentă și de referință
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\)	Porțiunea frontierei elementului care aparține frontierei mecanice
\(\boldsymbol{r}\)	Coordonate naturale (coordonate locale ale elementului)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\)	Punct în coordonate naturale corespunzător nodului \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\)	Funcția de formă corespunzătoare nodului \(\alpha\) al elementului \(e\)
\(n_e\)	Numărul de noduri care alcătuiesc un element
\(n_g\)	Numărul total de noduri globale
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\)	Coordonatele și deplasarea nodului de element \(\alpha\)
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\)	Vectorii coordonatelor nodale și ai deplasărilor elementului: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), etc.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\)	Vectorii globali ai coordonatelor nodale și ai deplasărilor (ordonați după numărul nodului, apoi după gradul de libertate)
\(\boldsymbol{B}\)	Matricea relației deformație–deplasare (matricea B)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\)	Matricea funcțiilor de formă: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) este un bloc \(d \times d\) cu funcția de formă \(N_\alpha^e\) pentru nodul \(\alpha\) pe diagonală, iar \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\)	Matricea de rigiditate a elementului
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\)	Integranzii matricei de rigiditate a elementului (exprimați în configurațiile de referință și curentă): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (formulare TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulare UL)	Vectorul forțelor interne ale elementului
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\)	Forța externă nodală care acționează asupra nodului de element \(\alpha\) și vectorul forțelor externe nodale ale elementului: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)	Vectorul global al forțelor interne și vectorul global al forțelor externe: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); în mod analog pentru \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\)	Forța internă nodală și forța externă nodală la nodul global \(i_g\) (blocurile nodale ale lui \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\)	Matricea globală de rigiditate tangentă: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matrice formată prin plasarea blocului \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) pe rândul \(i_g\), coloana \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\)	Vectorul rezidual în iterația Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\)	Corecția în iterația Newton-Raphson (obținută prin rezolvarea ecuației liniare \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) la iterația \(i\))
\(i_g\)	Numărul nodului global (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\)	Numărul nodului global corespunzător numărului local de nod \(\alpha\) al elementului \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\)	Mulțimea perechilor \((e, \alpha)\) corespunzătoare numărului nodului global \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Utilizată în operațiile de asamblare
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\)	Mulțimea tuplurilor \((e, \alpha, \beta)\) corespunzătoare perechii de numere ale nodurilor globale \((i_g, i_h)\); utilizată pentru asamblarea matricei de rigiditate
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\)	Indici pentru nodurile care alcătuiesc un element
\(i, j, k, l, \ldots\)	Indici pentru gradele de libertate (\(1, 2, 3\) în 3D)

Elemente avansate și elemente structurale¶

Simbol	Descriere
\(\bar{\boldsymbol{B}}\)	Matricea relației deformație–deplasare cu partea volumică modificată prin metoda B-bar (componenta volumică este înlocuită cu matricea B evaluată în centrul elementului)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\)	Gradientul de deformație cu partea volumică modificată prin metoda F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\)	Raportul de volum al gradientului de deformație evaluat în centrul elementului \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\)	Vector intern al gradelor de libertate pentru un element cu moduri incompatibile (coeficienții modurilor suplimentare de deplasare care nu impun continuitatea pe frontiera elementului)
\(M_k(\boldsymbol{r})\)	Funcții de formă pentru moduri incompatibile: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\)	Grosimea elementului de tip înveliș
\(A\)	Aria secțiunii transversale a unui element de tip grindă
\(I\)	Momentul de inerție al ariei secțiunii unui element de tip grindă
\(G\)	Modul de forfecare: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Subiecte conexe¶

Notație tensorială și fundamente matematice — Reguli pentru notația cu caractere aldine, convenția de sumare Einstein și notația Voigt
Mișcare, deformație și deformație specifică — Definiții ale configurațiilor, gradientului de deformație și deformației specifice
Mișcare, deformație și deformație specifică — Derivarea ecuațiilor de guvernare
Elasticitate liniară — Componentele explicite ale matricei de material \(D\)