Sari la conținut

Elasticitate liniară

Acest capitol tratează legea constitutivă (legea lui Hooke) pentru materialele elastice liniare. Pentru detalii privind alegerea modelului și specificațiile de intrare, consultați secțiunea de funcții 03_material.

Fenomenul (răspuns elastic liniar)

Un corp elastic liniar este un material care, într-un domeniu în care deformația specifică produsă de sarcină este suficient de mică, prezintă o relație liniară între tensiune și deformație specifică și un răspuns reversibil, independent de istoric, în care întreaga deformație revine la starea inițială după descărcare. Spre deosebire de plasticitate sau fluaj, acesta nu are variabile interne care să reprezinte starea (cum ar fi deformația plastică sau deformația vâscoasă), iar tensiunea este determinată în mod unic numai de deformația specifică curentă.

În domeniul deformațiilor mici se utilizează tensiunea Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) și deformația infinitesimală \(\boldsymbol{\varepsilon}\); în domeniul deformațiilor finite (probleme care includ rotații mari, dar în care deformația în sine este mică) se utilizează a doua tensiune Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) și deformația Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) (material St.Venant-Kirchhoff).

Legea constitutivă

Material elastic liniar izotrop

În domeniul deformațiilor mici, legea izotropă a lui Hooke se exprimă cu ajutorul constantelor Lamé \(\lambda, \mu\) astfel:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

În formă pe componente,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

iar dubla contracție cu deformația specifică dă \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Constantele Lamé sunt legate de modulul lui Young \(E\) și coeficientul lui Poisson \(\nu\) astfel:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

În notația Voigt, relația dintre vectorul de deformație specifică \(\hat{\varepsilon}\) și vectorul de tensiune \(\hat{\sigma}\) se scrie \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), iar matricea tridimensională de material \(D\) este

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Această reprezentare matricială este utilizată în implementare.

Material elastic liniar ortotrop

Pentru materialele ale căror constante elastice diferă în funcție de direcția axelor principale se utilizează un model ortotrop cu nouă constante independente: modulele lui Young pe direcțiile axelor principale \(E_1, E_2, E_3\), coeficienții lui Poisson dintre axele principale \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) și modulele de forfecare \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Pentru forma explicită a matricei \(D\), consultați referințele de specialitate standard.

Domeniul deformațiilor finite: material St.Venant-Kirchhoff

Pentru probleme care includ rotații mari, dar în care deformația în sine este mică, materialul St.Venant-Kirchhoff este utilizat ca lege elastică liniară ce leagă a doua tensiune Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) de deformația Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Definițiile constantelor Lamé \(\lambda, \mu\) sunt aceleași ca în cazul deformațiilor mici. Trebuie observat însă că, deoarece definițiile perechii tensiune–deformație diferă, aceasta este o lege constitutivă diferită de legea lui Hooke pentru deformații mici.

Material hipoelastic

În metoda Lagrangianului actualizat se utilizează un material hipoelastic care adoptă legea elastică liniară între rata Jaumann a tensorului relativ de tensiune Kirchhoff \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) și tensorul vitezei de deformație \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Și aici, definiția lui \(\boldsymbol{C}\) în funcție de constantele Lamé este aceeași ca mai sus, însă, deoarece perechea tensiune–deformație diferă, aceasta este o lege constitutivă diferită. Pentru detalii privind modul în care \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) este actualizată prin procedura de integrare în timp (integrare Euler înainte și aproximație prin diferențe centrale), consultați tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Reducerea pentru analiza bidimensională și elementele de tip înveliș

Stare plană de tensiune (\(\sigma_{33} = 0\))

Pentru starea plană de tensiune, care reprezintă încărcarea plăcilor subțiri și a învelișurilor, se presupune \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) și se utilizează matricea \(D\) în care componenta deformației în afara planului \(\varepsilon_{33}\) este eliminată algebric:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Stare plană de deformație (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Pentru starea plană de deformație, care reprezintă secțiunea transversală a unei structuri lungi constrânse pe direcția grosimii, se presupune \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Axisimetric

În analiza axisimetrică, ce tratează probleme uniforme pe direcția \(\theta\) în coordonate cilindrice \((r, \theta, z)\), se păstrează cele patru componente \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) și \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), iar

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

este matricea obținută.

Elemente de tip înveliș (stare plană de tensiune + forfecare transversală)

Pentru elementele de tip înveliș, tensiunea în plan este tratată ca stare plană de tensiune, iar pentru componentele de deformație de forfecare transversală \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) se utilizează \(\kappa\, G\) cu factorul de corecție la forfecare \(\kappa\) (în general \(\kappa = 5/6\)). Pentru formularea detaliată a fiecărui element, consultați Formulări avansate ale elementelor. Specificația din secțiunea de funcții 03_material, conform căreia „elementele de tip înveliș acceptă numai elasticitate liniară”, se bazează pe această simplificare prin care starea în plan este tratată ca stare plană de tensiune.

Dependența de temperatură

Modulul lui Young \(E\), coeficientul lui Poisson \(\nu\) și coeficientul de dilatare liniară \(\alpha\) sunt specificate în general ca funcții de temperatura \(T\). În FrontISTR, valorile sunt introduse pentru o secvență finită de puncte de temperatură \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), iar temperatura \(T\) din timpul calculului este evaluată prin interpolare liniară între punctele adiacente. Pentru temperaturi din afara domeniului (\(T < T_1\) sau \(T > T_n\)), se utilizează la extrapolare valoarea din capătul cel mai apropiat, \(T_1\) sau \(T_n\) (extrapolare constantă).

Pentru dependența de temperatură a proprietăților termice și de conducție a căldurii (densitate, căldură specifică și conductivitate termică), consultați Proprietăți termice. Regulile de interpolare sunt comune acestor proprietăți.

Subiecte conexe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status