Sari la conținut

Discretizarea lucrului virtual al forțelor interne

Ecuația lucrului virtual la momentul \(t + \Delta t\), prezentată în Cadrul analizei incrementale, se împarte în formulările Updated Lagrange și Total Lagrange în funcție de alegerea configurației de referință. În acest capitol, aproximația cu elemente finite introdusă în Funcții de formă și aproximația cu elemente finite și Derivatele spațiale ale funcțiilor de formă este utilizată pentru discretizarea spațială a lucrului virtual al forțelor interne în ambele formulări și pentru obținerea vectorilor forțelor interne elementale \(\boldsymbol{q}^e\) (metoda UL) și \(\boldsymbol{Q}^e\) (metoda TL).

Pentru elementul \(e\), deplasările nodurilor componente \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) sunt notate \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), iar vectorul deplasărilor nodale ale elementului este ordonat ca \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\); deplasarea virtuală \(\delta \boldsymbol{u}^e\) este definită în aceeași ordine. Deplasarea din interiorul elementului este interpolată cu funcțiile de formă ca \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Lucrul virtual al forțelor interne în metoda Updated Lagrange

În metoda Updated Lagrange, configurația curentă \({}^{t}\Omega\) la momentul \(t\) este utilizată drept configurație de referință, iar lucrul virtual al forțelor interne se scrie cu tensiunea Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) și partea liniară a deformației Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) sub forma

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Fiecare componentă a lui \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) poate fi exprimată ca o combinație liniară între derivatele funcțiilor de formă în raport cu coordonatele configurației curente \(\boldsymbol{x}\), \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\), și deplasările virtuale nodale \(\delta u^e_{i\alpha}\); în notație Voigt, aceasta se grupează ca

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Blocul nodal \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) este o matrice \(6 \times 3\) obținută prin aranjarea lui \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) conform convenției Voigt, iar \(\boldsymbol{B}_L\) este matricea de relație deformație-deplasare pentru metoda UL. Prin substituirea acesteia în lucrul virtual al forțelor interne și separarea lui \(\delta \boldsymbol{u}^e\) se obține

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Blocul nodal \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) al lui \(\boldsymbol{q}^e\) reprezintă forța internă a elementului \(\Omega^e\) care acționează asupra nodului component \(\alpha\).

Lucrul virtual al forțelor interne în metoda Total Lagrange

În metoda Total Lagrange, configurația inițială \(\Omega_0\) este utilizată drept configurație de referință, iar lucrul virtual al forțelor interne se scrie cu a doua tensiune Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) și deformația Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) sub forma

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Variația \(\delta \boldsymbol{E}\) se separă într-un termen liniar în raport cu deplasarea virtuală și un termen neliniar care conține produse cu gradientul deplasării curente \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Termenul liniar se poate scrie cu blocul nodal \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) obținut prin aplicarea aceleiași reguli de aranjare ca în metoda UL la \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

(din cauza diferenței de configurație de referință, componentele sunt doar înlocuite din \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) cu \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), iar simbolul este comun cu cel din metoda UL). Termenul neliniar se scrie utilizând blocul nodal \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\), obținut prin aranjarea conform convenției Voigt a produselor dintre gradientul deplasării curente \(\partial u_k/\partial X_j\) și \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Rezultă astfel \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), iar \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) este matricea de relație deformație-deplasare pentru metoda TL. Prin substituirea acesteia în lucrul virtual al forțelor interne se obține

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Blocul nodal \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) reprezintă forța internă a elementului \(\Omega^e_0\) care acționează asupra nodului component \(\alpha\).

Corespondența UL/TL și fluxul de calcul

Vectorii forțelor interne elementale în metodele Updated Lagrange și Total Lagrange corespund după cum urmează.

Element Metoda Updated Lagrange Metoda Total Lagrange
Configurație de referință Configurația curentă \({}^{t}\Omega^e\) Configurația inițială \(\Omega^e_0\)
Tensor de tensiune Tensiunea Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) A doua tensiune PK \(\boldsymbol{S}\)
Variația deformației \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Matrice B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Forță internă elementală \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Ambele pot fi tratate prin aceeași procedură: „se construiește \(\boldsymbol{B}_L\) din derivatele spațiale ale funcțiilor de formă”, „în metoda TL se construiește \(\boldsymbol{B}_{NL}\) din gradientul deplasării curente și se adaugă”, „tensiunea (\(\boldsymbol{\sigma}\) sau \(\boldsymbol{S}\)) se actualizează conform legii constitutive” și „la punctele de integrare se efectuează integrarea numerică a lui \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) sau \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) pe domeniul elementului (Integrare numerică)”. În afara schimbării configurației de referință (coordonatele nodale și construcția matricei \(\boldsymbol{B}\)) și a înlocuirii tensorului de tensiune, prelucrarea este comună; de aceea, în FrontISTR calculul forțelor interne pentru ambele metode este implementat prin subrutine comune. Asamblarea vectorilor forțelor interne elementale \(\boldsymbol{q}^e\) și \(\boldsymbol{Q}^e\) în vectorul global al forțelor interne este tratată în Lucrul virtual al forțelor externe și asamblarea ecuațiilor globale.

Elemente conexe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status