Mișcare, deformare și deformație¶

Configurația de referință și configurația curentă¶

Definirea configurațiilor¶

Pentru a distinge forma în timp utilizată ca bază pentru descrierea mărimilor fizice, acest manual folosește două configurații.

Configurația de referință: forma nedeformată la începutul analizei (timpul \(0\)), numită și configurație inițială. Un punct din configurația de referință este reprezentat prin coordonata materială \(\boldsymbol{X}\), cu volumul \(V\) și suprafața \(S\).
Configurația curentă: forma deformată la timpul \(t\). Un punct din configurația curentă este reprezentat prin coordonata spațială \(\boldsymbol{x}\), cu volumul \(v\) și suprafața \(s\).

Mișcarea este reprezentată ca o aplicație între aceste două configurații, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), iar deplasarea este definită ca \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Notație dependentă de configurație (majuscule/minuscule)¶

Tipul literei simbolului distinge configurația căreia îi aparține o mărime fizică.

Mărimile aparținând configurației de referință sunt scrise cu simboluri majuscule (de exemplu, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Mărimile aparținând configurației curente sunt scrise cu simboluri minuscule (de exemplu, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Mărimile care leagă ambele configurații, precum prima tensiune Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\), folosesc notația convențională și sunt identificate explicit în text atunci când este necesar.
În teoria deformațiilor mici, distincția dintre cele două configurații dispare, astfel încât se folosesc numai simboluri minuscule (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Gradienți în configurația de referință și în configurația curentă¶

Notația și semnificația diferă în funcție de configurația în raport cu care se calculează o derivată spațială.

Gradient în configurația de referință \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradient în raport cu coordonatele materiale. Exemplu: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradient în configurația curentă \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradient în raport cu coordonatele spațiale. Exemplu: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Acestea sunt legate prin \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Pentru convenția privind derivatele în timp (derivata materială în timp \(\dot{(\cdot)}\)), consultați Notație tensorială și fundamente matematice.

Descrierea mișcării¶

Aplicația mișcării și descrierile materială/spațială¶

Dacă mediul continuu este privit ca o colecție de puncte materiale etichetate prin poziția lor \(\boldsymbol{X}\) la timpul \(0\), mișcarea este reprezentată prin aplicația \(\phi\) care asociază fiecărui punct material \(\boldsymbol{X}\) poziția sa \(\boldsymbol{x}\) la timpul \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Conform convenției în care configurația de referință este configurația inițială, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Se disting două descrieri, în funcție de alegerea variabilelor independente.

Descriere materială (descriere Lagrangiană): reprezintă mărimile fizice ca funcții de \((\boldsymbol{X}, t)\). În mecanica solidelor aceasta este o alegere naturală, deoarece configurația de referință este dată ca o formă fixă.
Descriere spațială (descriere Euleriană): reprezintă mărimile fizice ca funcții de \((\boldsymbol{x}, t)\). Aceasta este descrierea standard în mecanica fluidelor.

Analiza structurală FrontISTR se bazează în principal pe descrierea materială, însă metoda Updated Lagrange utilizează și mărimi din descrierea spațială deoarece configurația curentă este folosită drept noua configurație de referință.

Deplasare, viteză și accelerație¶

Așa cum s-a menționat în secțiunea precedentă, deplasarea \(\boldsymbol{u}\) este definită prin \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Nu se face nicio ipoteză asupra mărimii sale, astfel încât sunt incluse și deformațiile finite. Vectorii viteză și accelerație sunt definiți ca derivate materiale în timp ale lui \(\boldsymbol{u}\), menținând fix punctul material:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Aceste ecuații definesc viteza și accelerația.

Gradientul de deformare și tensorii de deformare¶

Tensorul gradientului de deformare¶

Mărimea fundamentală în mecanica mediilor continue cu deformații finite este tensorul gradientului de deformare \(\boldsymbol{F}\). Acesta este aplicația liniară care transformă un element liniar infinitezimal \(d\boldsymbol{X}\) din configurația de referință într-un element liniar infinitezimal \(d\boldsymbol{x}\) din configurația curentă și este definit ca gradientul aplicației mișcării în raport cu coordonatele materiale:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Astfel definit (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) în starea nedeformată. \(\boldsymbol{F}\) este utilizat pe scară largă pentru definirea deformației și tensiunii și pentru transformarea mărimilor fizice între configurații.

Raportul volumelor¶

Raportul dintre un volum infinitezimal \(dV\) din configurația de referință și volumul infinitezimal corespunzător \(dv\) din configurația curentă se numește raportul volumelor \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Inversabilitatea mediului continuu impune \(J > 0\). Conservarea masei se exprimă prin \(\rho_0 = J\rho\).

Tensorii de deformare Cauchy-Green drept și stâng¶

Deoarece gradientul de deformare \(\boldsymbol{F}\) include rotația de corp rigid, măsurile deformării propriu-zise utilizează mărimi din care rotația de corp rigid a fost eliminată. Tensorul de deformare Cauchy-Green drept \(\boldsymbol{C}\) (configurația de referință) și tensorul de deformare Cauchy-Green stâng \(\boldsymbol{b}\) (configurația curentă) sunt definiți prin

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Ambii sunt tensori simetrici și au aceleași valori proprii (pătratele alungirilor principale). Invarianții principali ai funcțiilor energiei de deformație hiperelastică se exprimă folosind acești tensori.

Tensorii de deformație¶

Tensorul de deformație Green-Lagrange¶

Ca măsură a deformației raportată la configurația de referință, tensorul de deformație Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) este definit prin

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Este un tensor simetric care reprezintă variația produsului scalar dintre vectorii infinitezimali din configurația de referință, este invariant la rotația de corp rigid și satisface \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) în starea nedeformată. Utilizând \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) se obține

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Aceasta exprimă deformația ca sumă a termenilor de ordinul întâi și al doilea în gradientul deplasării; termenul de ordinul al doilea reprezintă neliniaritatea geometrică. În metoda Total Lagrange este utilizat cuplul conjugat energetic \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Tensorul de deformație Almansi¶

Ca măsură a deformației raportată la configurația curentă, tensorul de deformație Almansi \(\boldsymbol{e}\) este definit prin

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Acesta este legat de deformația Green-Lagrange prin \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Tensorul deformației infinitezimale¶

Când gradientul deplasării este mic (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), termenul de ordinul al doilea al deformației Green-Lagrange poate fi neglijat. Deoarece distincția dintre cele două configurații dispare în acest caz, expresia se reduce la tensorul deformației infinitezimale \(\boldsymbol{\varepsilon}\), cu gradientul scris în coordonate spațiale:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR utilizează această măsură a deformației pentru analiza statică liniară, analiza modală, analiza răspunsului în frecvență și analiza dinamică liniară. Analiza cu deformații finite utilizează \(\boldsymbol{E}\) în metoda Total Lagrange și tensorul ratei de deformare \(\boldsymbol{D}\) raportat la configurația curentă în metoda Updated Lagrange.