Analiză modală¶

Problema generalizată de valori proprii¶

Pentru analiza vibrațiilor libere ale unui mediu continuu, domeniul este discretizat spațial și modelat ca un sistem cu mai multe grade de libertate și mase concentrate, așa cum se arată în Figura 2.3.1. Pentru o problemă de vibrații libere neamortizate, ecuația de guvernare (ecuația de mișcare) este următoarea.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Aici, $u$ este vectorul deplasărilor generalizate, $M$ este matricea de masă, iar $K$ este matricea de rigiditate. Fie frecvența unghiulară proprie $\omega$, fie $a$, $b$ și $c$ constante arbitrare și fie $x$ un vector. Se definește funcția

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Derivata a doua a acestei expresii este

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Prin înlocuirea acestor expresii în Ecuația $\eqref{eq:2.3.1}$ se obține

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

adică

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

se obține.

Prin urmare, dacă Ecuația $\eqref{eq:2.3.5}$ este satisfăcută de coeficientul $\lambda = \omega^2$ și poate fi găsit vectorul $x$, funcția $u(t)$ este o soluție a Ecuației $\eqref{eq:2.3.1}$.

Coeficientul $\lambda$ se numește valoare proprie, iar vectorul $x$, vector propriu. Problema determinării acestora din Ecuația $\eqref{eq:2.3.1}$ se numește problemă generalizată de valori proprii.

Exemplu de sistem cu mai multe grade de libertate în vibrație liberă neamortizată

Figura 2.3.1 Exemplu de sistem cu mai multe grade de libertate în vibrație liberă neamortizată

Proprietățile matricelor și ipoteze¶

Pentru problema generalizată de valori proprii $K x = \lambda M x$ obținută în secțiunea precedentă, acest manual presupune următoarele proprietăți ale matricelor. Aceste ipoteze stau la baza convergenței și domeniului de aplicabilitate ale iterației inverse cu deplasare și metodei Lanczos descrise mai jos. Pentru o matrice complexă, transpusa este conjugata complexă, iar o matrice reală este simetrică. Mai precis, pentru matricea $K$, dacă elementul său $ij$ este $k_{ij}$, iar conjugata complexă a lui $k$ este notată cu $\bar{k}$, atunci

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

este valabilă relația de mai sus.

În acest manual, matricile sunt presupuse simetrice și pozitiv definite. Pozitiv definit înseamnă că toate valorile proprii sunt pozitive; echivalent, matricea satisface întotdeauna Ecuația $\eqref{eq:2.3.7}$ de mai jos.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Iterație inversă cu deplasare¶

În analiza structurală cu elemente finite, în practică nu sunt necesare în general toate valorile proprii; în multe cazuri sunt suficiente doar câteva valori proprii de ordin inferior. HEC-MW este destinat problemelor de mari dimensiuni, pentru care matricile sunt mari și foarte rare (conțin multe elemente nule). Prin urmare, este important ca valorile proprii ale modurilor de ordin inferior să fie calculate eficient, ținând seama de această proprietate.

Fie $\sigma$ limita inferioară a valorilor proprii. Ecuația $\eqref{eq:2.3.5}$ poate fi transformată atunci în următoarea formă echivalentă matematic.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Această transformare are următoarele proprietăți utile pentru calcul.

Ordinea modurilor este inversată.
Valorile proprii din apropierea lui $\rho$ sunt transformate în cele mai mari valori.

În calculul efectiv, cele mai mari valori proprii sunt adesea obținute primele. Prin urmare, în locul Ecuației $\eqref{eq:2.3.5}$, calculul principal de convergență este aplicat Ecuației $\eqref{eq:2.3.8}$, cu scopul de a obține mai întâi valorile proprii din apropierea lui $\rho$. Această tehnică se numește iterație inversă cu deplasare.

Metoda Lanczos¶

Motivația utilizării (comparație cu metoda Jacobi)¶

Dintre metodele clasice, metoda Jacobi este bine cunoscută.

Această metodă este eficientă atunci când matricea este mică și densă. Totuși, deoarece matricile tratate de HEC-MW sunt mari și rare, metoda Jacobi nu este utilizată; în schimb, este folosită metoda iterativă Lanczos.

Algoritm și caracteristici¶

Propusă de C. Lanczos în anii 1950, această metodă este un algoritm pentru reducerea unei matrice la forma tridiagonală și are următoarele caracteristici.

Este o metodă iterativă convergentă și poate avansa menținând matricea rară.
Algoritmul constă în principal din produse matrice-vector și este foarte potrivit pentru paralelizare.
Este foarte potrivită pentru descompunerea geometrică a domeniului asociată rețelelor de elemente finite.
Este posibil un calcul eficient prin limitarea numărului de valori proprii și a domeniului modurilor care trebuie obținute.

Metoda Lanczos pornește de la un vector inițial, generează succesiv vectori ortogonali și construiește o bază pentru un subspațiu. Se consideră că este mai rapidă decât metoda subspațiului, o altă metodă iterativă, și este utilizată pe scară largă în programele cu elemente finite. Totuși, această metodă este sensibilă la erori numerice, care pot distruge ortogonalitatea vectorilor și pot provoca eșecul calculului. Prin urmare, măsurile împotriva unor astfel de erori numerice sunt esențiale.

Interpretare geometrică (subspațiul Krylov)¶

Prin introducerea următoarei schimbări de variabile în Ecuația $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

problema poate fi rescrisă ca

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

și se obține forma de mai sus.

Pentru un vector adecvat $q_0$, se aplică transformarea liniară reprezentată de matricea $A$ (vezi Figura 2.3.2).

$Transformarea liniară prin matricea $A$ a lui $q_0$$

Figura 2.3.2 Transformarea liniară prin matricea $A$ a lui $q_0$

Vectorul transformat este ortogonalizat în spațiul generat împreună cu vectorul inițial. Adică se efectuează ortogonalizarea Gram-Schmidt, așa cum este ilustrat în Figura 2.3.2. Fie vectorul rezultat $r_1$. Acesta este normalizat la lungime unitară pentru a obține $q_1$ (Figura 2.3.3). Pornind de la $q_1$, se obține $q_2$ folosind aceeași procedură. În acest moment, $q_2$ este ortogonal atât pe $q_1$, cât și pe $q_0$ (Figura 2.3.4). Continuarea aceluiași calcul produce vectori reciproc ortogonali până la ordinul matricei.

$Un vector ortogonal pe $q_0$: $q_1$$

Figura 2.3.3 Un vector ortogonal pe $q_0$: $q_1$

$Un vector ortogonal pe $q_1$ și $q_0$: $q_2$$

Figura 2.3.4 Un vector ortogonal pe $q_1$ și $q_0$: $q_2$

În particular, algoritmul Lanczos se aplică șirului de vectori $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

sau, echivalent, $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

prin ortogonalizare Gram-Schmidt. Acest șir de vectori se numește șir Krylov, iar spațiul pe care îl generează se numește subspațiu Krylov. Când ortogonalizarea Gram-Schmidt este efectuată în acest spațiu, fiecare vector nou poate fi obținut folosind cei mai recenți doi vectori. Aceasta se numește principiul Lanczos.

Tridiagonalizare¶

În iterația de mai sus, calculul pentru vectorul de ordin (i+1) poate fi scris ca

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

unde

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

Folosind notația matricială, aceasta devine

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

unde

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Astfel, valorile proprii sunt obținute prin rezolvarea problemei de valori proprii pentru matricea tridiagonală obținută din Ecuația $\eqref{eq:2.3.13}$.

Subiecte conexe¶

Analiza răspunsului în frecvență — Răspuns în frecvență utilizând rezultatele analizei modale
Tipuri de analiză — Prezentare funcțională a analizei modale