Tensiuni și legi de conservare¶

Acest capitol organizează definițiile și relațiile dintre tensorii de tensiune, împreună cu ecuațiile de echilibru și simetria tensiunii derivate din conservarea masei, a impulsului liniar și a momentului cinetic. Cei trei tensori de tensiune—tensiunea Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\), prima tensiune Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\) și a doua tensiune Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\)—sunt introduși în funcție de configurația utilizată pentru suprafața de referință și vectorul forță. Pentru definițiile configurației, mișcării și gradientului de deformație, consultați Mișcare, deformație și deformație specifică, iar pentru lista simbolurilor consultați Lista simbolurilor mărimilor fizice.

Tensorul tensiunii Cauchy¶

Fie \(d\boldsymbol{f}\) forța care acționează pe o suprafață infinitezimală într-un punct \(\boldsymbol{x}\) din configurația curentă (aria \(d\Gamma\), normala unitară exterioară \(\boldsymbol{n}\)) și definiți vectorul de tracțiune \(\boldsymbol{t}\) ca forța pe unitatea de suprafață prin \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) depinde atât de poziția \(\boldsymbol{x}\), cât și de normala \(\boldsymbol{n}\). Aplicarea conservării impulsului unui tetraedru infinitezimal arată că \(\boldsymbol{t}\) este liniar în raport cu \(\boldsymbol{n}\), astfel încât există un tensor de ordinul al doilea \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) pentru care

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

pentru orice \(\boldsymbol{n}\) (teorema tensiunii a lui Cauchy). Acest tensor \(\boldsymbol{\sigma}\) se numește tensorul tensiunii Cauchy și este denumit și tensiune adevărată, deoarece reprezintă forța pe unitatea de suprafață măsurată în raport cu geometria configurației curente. Componenta \(\sigma_{ij}\) reprezintă componenta pe \(x_i\) a forței pe unitatea de suprafață care acționează pe o suprafață infinitezimală normală la axa de coordonate \(x_j\) în configurația curentă.

După cum se arată ulterior din conservarea momentului cinetic, tensiunea Cauchy este un tensor simetric:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Prin urmare, în trei dimensiuni are șase componente independente (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Vectorizarea tensiunii în notația Voigt presupune această simetrie (consultați Notație tensorială și fundamente matematice). Tensiunea Cauchy este utilizată pentru ieșirea tensiunilor în analiza geometric neliniară FrontISTR cu metoda Lagrangianului actualizat și în analiza deformațiilor mici.

Prima și a doua tensiune Piola-Kirchhoff¶

Pentru deformații finite este adesea convenabil ca tensiunea să fie exprimată în raport cu suprafețe și vectori din configurația de referință, astfel încât se introduc doi tensori de tensiune Piola-Kirchhoff. Fie aria unei suprafețe infinitezimale din configurația de referință \(d\Gamma_0\), iar normala sa unitară exterioară \(\boldsymbol{N}\).

Prima tensiune Piola-Kirchhoff (prima tensiune PK, tensiune nominală) \(\boldsymbol{P}\) este definită ca tensorul de tensiune obținut atunci când forța \(d\boldsymbol{f}\) din configurația curentă este aplicată unei suprafețe infinitezimale din configurația de referință:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Utilizarea formulei lui Nanson \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) împreună cu teorema tensiunii a lui Cauchy dă relația cu tensiunea Cauchy

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Prima tensiune PK este în general nesimetrică.

A doua tensiune Piola-Kirchhoff (a doua tensiune PK) \(\boldsymbol{S}\) este definită ca tensorul de tensiune obținut prin readucerea forței \(d\boldsymbol{f}\) din configurația curentă în configurația de referință cu \(\boldsymbol{F}^{-1}\) și aplicarea acesteia unei suprafețe infinitezimale din configurația de referință:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Atât vectorul forță, cât și suprafața pe care acesta acționează sunt exprimate prin mărimi din configurația de referință, ceea ce face tensorul invariant la rotația de corp rigid și simetric. Relația sa cu prima tensiune PK și transformarea din tensiunea Cauchy sunt

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

A doua tensiune PK este derivată dintr-o funcție hiperelastică de energie de deformație \(W(\boldsymbol{C})\) ca \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) și, în metoda Lagrangianului total, este utilizată împreună cu deformația Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) ca pereche conjugată energetic \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Configurațiile de referință și proprietățile de simetrie sunt rezumate mai jos. În limita deformațiilor mici (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)), cele trei tensiuni coincid.

Tensor de tensiune	Suprafață de referință	Vector forță	Simetrie	Aplicație
Tensiunea Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\)	Configurația curentă \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Configurația curentă \(d\boldsymbol{f}\)	Simetrică	Metoda Lagrangianului actualizat / analiza deformațiilor mici
Prima tensiune PK \(\boldsymbol{P}\)	Configurația de referință \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Configurația curentă \(d\boldsymbol{f}\)	În general nesimetrică	Ecuații de echilibru în configurația de referință
A doua tensiune PK \(\boldsymbol{S}\)	Configurația de referință \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Configurația de referință \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Simetrică	Metoda Lagrangianului total / hiperelasticitate

Conservarea masei și impulsului și ecuațiile de echilibru¶

Fie \(\rho\) densitatea masică în configurația curentă și \(\rho_0\) densitatea masică în configurația de referință. Legea conservării masei \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), împreună cu transformarea elementului de volum \(dv = J\, dV\), se reduce la forma locală

\[ \rho_0 = J \rho \]

Aceasta este relația locală de conservare a masei.

Fie \(\boldsymbol{g}\) forța volumică pe unitatea de masă și \(\boldsymbol{a}\) accelerația. Aplicarea teoremei tensiunii a lui Cauchy și a teoremei divergenței a lui Gauss conservării impulsului liniar (prima lege a mișcării a lui Euler) conduce la ecuația de echilibru (ecuația de mișcare) locală în configurația curentă:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Rescrierea integralei în configurația de referință folosind formula lui Nanson și \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) dă forma locală în configurația de referință:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Cele două forme sunt echivalente prin regula de transformare a tensiunii și \(\rho_0 = J\rho\). Neglijarea termenului inerțial conduce la

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

care este ecuația echilibrului static și constituie punctul de plecare pentru analiza statică FrontISTR (liniară și neliniară).

Conservarea momentului cinetic și simetria tensiunii¶

Combinarea conservării momentului cinetic (a doua lege a mișcării a lui Euler) cu ecuația de echilibru rezultată din conservarea impulsului liniar conduce la simetria tensorului tensiunii Cauchy:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Astfel, în trei dimensiuni acesta are șase componente independente. Transpunerea ambilor membri ai transformării \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) și utilizarea nesingularității lui \(\boldsymbol{F}\) arată că și a doua tensiune PK este simetrică:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

și, prin urmare, are de asemenea șase componente independente. În schimb, prima tensiune PK \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) nu este în general simetrică; este valabilă numai relația \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (adică \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) este simetrică), iar tensorul are nouă componente independente.

Aceste simetrii stau la baza exprimării tensiunii ca vector cu șase componente în notația Voigt. Pentru convențiile notației Voigt și construirea matricelor de material, consultați Notație tensorială și fundamente matematice și Elasticitate liniară.