Feszültség és megmaradási törvények¶

Ez a fejezet rendszerezi a feszültségtenzorok definícióit és egymáshoz való viszonyát, valamint a tömeg, a lineáris impulzus és a perdület megmaradásából levezetett egyensúlyi egyenleteket és a feszültség szimmetriáját. A három feszültségtenzort — a Cauchy-feszültséget \(\boldsymbol{\sigma}\), az első Piola–Kirchhoff-feszültséget \(\boldsymbol{P}\) és a második Piola–Kirchhoff-feszültséget \(\boldsymbol{S}\) — annak megfelelően vezetjük be, hogy mely konfigurációt használjuk referenciafelületként és erővektorként. A konfiguráció, mozgás és alakváltozási gradiens definícióihoz lásd a Mozgás, alakváltozás és deformáció, a jelölések listájához pedig a Fizikai mennyiségek jelöléseinek listája fejezetet.

Cauchy-feszültségtenzor¶

Legyen \(d\boldsymbol{f}\) az aktuális konfiguráció \(\boldsymbol{x}\) pontjában egy infinitezimális felületre ható erő (területe \(d\Gamma\), kifelé mutató egységnormálisa \(\boldsymbol{n}\)), és definiáljuk a felületi erővektort \(\boldsymbol{t}\) az egységnyi felületre jutó erőként a \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) összefüggéssel. A \(\boldsymbol{t}\) mind a \(\boldsymbol{x}\) helyzettől, mind a \(\boldsymbol{n}\) normálistól függ. Az impulzusmegmaradást infinitezimális tetraéderre alkalmazva adódik, hogy \(\boldsymbol{t}\) lineáris \(\boldsymbol{n}\)-ben, ezért létezik olyan másodrendű \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) tenzor, amelyre

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

tetszőleges \(\boldsymbol{n}\) esetén (Cauchy feszültségtétele). Ezt a \(\boldsymbol{\sigma}\) tenzort Cauchy-feszültségtenzornak nevezzük, és valódi feszültségnek is hívjuk, mert az aktuális konfiguráció geometriájára vonatkoztatott egységnyi felületre jutó erőt reprezentálja. A \(\sigma_{ij}\) komponens az aktuális konfigurációban az \(x_j\) koordinátatengelyre merőleges infinitezimális felületre ható egységnyi felületre jutó erő \(x_i\) irányú komponensét jelenti.

Amint később a perdületmegmaradásból következik, a Cauchy-feszültség szimmetrikus tenzor:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Három dimenzióban ezért hat független komponense van (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). A feszültség Voigt-jelölés szerinti vektorizálása ezt a szimmetriát feltételezi (lásd Tenzorjelölés és matematikai alapok). A FrontISTR geometriailag nemlineáris, frissített Lagrange-módszerű elemzésében, valamint kis alakváltozású elemzésben a Cauchy-feszültséget használja feszültségkimenetként.

Első és második Piola–Kirchhoff-feszültség¶

Véges alakváltozás esetén gyakran célszerű a feszültséget a referencia-konfiguráció felületeire és vektoraira vonatkoztatva kifejezni, ezért két Piola–Kirchhoff-feszültségtenzort vezetünk be. Legyen a referencia-konfigurációban egy infinitezimális felület területe \(d\Gamma_0\), kifelé mutató egységnormálisa pedig \(\boldsymbol{N}\).

Az első Piola–Kirchhoff-feszültséget (első PK-feszültség, névleges feszültség) \(\boldsymbol{P}\) úgy definiáljuk, mint azt a feszültségtenzort, amely akkor adódik, amikor az aktuális konfiguráció \(d\boldsymbol{f}\) erejét a referencia-konfiguráció infinitezimális felületére vonatkoztatjuk:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

A Nanson-formula \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) és a Cauchy-feszültségtétel felhasználásával a Cauchy-feszültséggel való kapcsolat:

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Az első PK-feszültség általában nem szimmetrikus.

A második Piola–Kirchhoff-feszültséget (második PK-feszültség) \(\boldsymbol{S}\) úgy definiáljuk, hogy az aktuális konfiguráció \(d\boldsymbol{f}\) erejét \(\boldsymbol{F}^{-1}\) segítségével visszahúzzuk a referencia-konfigurációba, és a referencia-konfiguráció infinitezimális felületére alkalmazzuk:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Mivel mind az erővektor, mind a felület, amelyre hat, referencia-konfigurációbeli mennyiségekkel van kifejezve, merevtest-forgatásra invariáns és szimmetrikus. Az első PK-feszültséggel való kapcsolata és a Cauchy-feszültségből történő transzformáció:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

A második PK-feszültség a \(W(\boldsymbol{C})\) hiperrugalmas alakváltozásienergia-függvényből \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) alakban származtatható, és a teljes Lagrange-módszerben a \(\boldsymbol{E}\) Green–Lagrange-alakváltozással együtt a munka-konjugált \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) párt alkotja.

A referencia-konfigurációkat és a szimmetriatulajdonságokat az alábbi táblázat foglalja össze. A kis alakváltozási határban (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) a három feszültség egybeesik.

Feszültségtenzor	Referenciafelület	Erővektor	Szimmetria	Alkalmazás
Cauchy-feszültség \(\boldsymbol{\sigma}\)	Aktuális konfiguráció \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Aktuális konfiguráció \(d\boldsymbol{f}\)	Szimmetrikus	Frissített Lagrange-módszer / kis alakváltozású elemzés
Első PK-feszültség \(\boldsymbol{P}\)	Referencia-konfiguráció \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Aktuális konfiguráció \(d\boldsymbol{f}\)	Általában nem szimmetrikus	Egyensúlyi egyenletek a referencia-konfigurációban
Második PK-feszültség \(\boldsymbol{S}\)	Referencia-konfiguráció \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Referencia-konfiguráció \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Szimmetrikus	Teljes Lagrange-módszer / hiperrugalmasság

Tömeg- és impulzusmegmaradás, valamint az egyensúlyi egyenletek¶

Legyen \(\rho\) az aktuális konfiguráció tömegsűrűsége, \(\rho_0\) pedig a referencia-konfiguráció tömegsűrűsége. A \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) tömegmegmaradási törvény a \(dv = J\, dV\) térfogatelem-transzformációval együtt a következő lokális alakra vezet:

\[ \rho_0 = J \rho \]

Ez a lokális tömegmegmaradási összefüggés.

Legyen \(\boldsymbol{g}\) az egységnyi tömegre jutó térfogati erő, \(\boldsymbol{a}\) pedig a gyorsulás. A Cauchy-feszültségtételt és a Gauss-féle divergenciatételt a lineáris impulzus megmaradására (Euler első mozgástörvényére) alkalmazva az aktuális konfigurációban a lokális egyensúlyi egyenletet (mozgásegyenletet) kapjuk:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Az integrált a referencia-konfigurációban a Nanson-formulával és a \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) összefüggéssel átírva a lokális alak:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

A két alak a feszültségtranszformáció szabályán és a \(\rho_0 = J\rho\) összefüggésen keresztül ekvivalens. A tehetetlenségi tag elhanyagolásával:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

adódik, ami a statikus egyensúlyi egyenlet, és a FrontISTR statikai elemzésének (lineáris és nemlineáris) kiindulópontja.

Perdületmegmaradás és feszültségszimmetria¶

A perdületmegmaradást (Euler második mozgástörvényét) a lineáris impulzus megmaradásából származó egyensúlyi egyenlettel kombinálva a Cauchy-feszültségtenzor szimmetriáját kapjuk:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Ezért három dimenzióban hat független komponense van. A \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) transzformáció mindkét oldalának transzponálása és \(\boldsymbol{F}\) nemszingularitásának felhasználása megmutatja, hogy a második PK-feszültség is szimmetrikus:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

így szintén hat független komponense van. Ezzel szemben az első PK-feszültség \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) általában nem szimmetrikus; csak a \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) összefüggés teljesül (vagyis \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) szimmetrikus), és kilenc független komponense van.

Ezek a szimmetriák képezik a feszültség hatkomponensű vektorként, Voigt-jelölésben történő felírásának alapját. A Voigt-jelölési konvenciókhoz és az anyagmátrixok felépítéséhez lásd a Tenzorjelölés és matematikai alapok és a Lineáris rugalmasság fejezetet.