Lineáris rugalmas statikai elemzés (bevezetés)

Ez a szakasz a végtelenül kis alakváltozások elméletén alapuló rugalmas statikai elemzés megfogalmazását mutatja be. A feszültség–alakváltozás kapcsolatra lineáris rugalmasságot feltételezünk. Ez a fejezet a végeselemes szerkezeti elemzés általános felépítésének megértését segítő bevezetés, és önállóan olvasható fejezetként épül fel.

A virtuális munka elvének általános elméletéhez (aktuális konfigurációban, kezdeti konfigurációban, valamint a végtelenül kis alakváltozásra való redukcióhoz) lásd A virtuális munka elve; a lineárisan rugalmas anyagtörvény részleteihez lásd Lineáris rugalmasság; a tenzor- és Voigt-jelölés konvencióihoz lásd Tenzorjelölés és matematikai alapok; a véges alakváltozás általános megfogalmazásához lásd Mozgás, alakváltozás és deformáció; a nemlineáris problémák megoldási módszereihez pedig lásd Érintőmerevségi mátrix.

Alapegyenletek

Végtelenül kis alakváltozás és lineáris rugalmasság feltételezése mellett a szilárdtestmechanikai peremérték-probléma az egyensúlyi egyenletből, a mechanikai peremfeltételekből és a geometriai peremfeltételekből (lényegi peremfeltételekből) áll (lásd a 2.1.1. ábrát):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad V\text{-ben} \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad S_t\text{-n} \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad S_u\text{-n} \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Itt \(\boldsymbol{\sigma}\) a Cauchy-feszültség, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) az egységnyi térfogatra jutó térfogati erő, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) az előírt felületi terhelés, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) az előírt elmozdulás, míg \(S_t, S_u\) a mechanikai és geometriai határfelületek.

2.1.1. ábra Szilárdtestmechanikai peremérték-probléma (végtelenül kis alakváltozású probléma)

A szimmetrikus gradiensoperátor használatával az alakváltozás–elmozdulás kapcsolat:

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

A lineárisan rugalmas anyagegyenlet:

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

ahol \(\boldsymbol{C}\) a negyedrendű rugalmassági tenzor.

A virtuális munka elve

A virtuális munka elvének általános alakjait (aktuális konfiguráció, kezdeti konfiguráció, valamint végtelenül kis alakváltozásra való redukció) A virtuális munka elve foglalja össze. Végtelenül kis alakváltozás és lineáris rugalmasság feltételezése mellett a gyenge alak:

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad S_u\text{-n} \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Az \eqref{eq:2.1.5} anyagegyenlet behelyettesítésével és a \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) összefüggés Voigt-jelölésben történő felírásával közvetlenül a diszkretizáláshoz használt alakot kapjuk:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

ahol \(D\) a Lineáris rugalmasság fejezetben definiált rugalmassági mátrix. Az \eqref{eq:2.1.10} és \eqref{eq:2.1.7} egyenletek alkotják az alább diszkretizált virtuális munka elvét.

Diszkretizálás és a globális egyenlet összeállítása

Az \( \eqref{eq:2.1.10} \) egyenletben szereplő virtuális munka elvének végeselemekre történő diszkretizálása:

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Minden elem esetén az elmozdulásmezőt az elemet alkotó csomópontok elmozdulásaival interpoláljuk a következőképpen.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Az alakváltozás ekkor a \(\eqref{eq:2.1.4}\) egyenlet felhasználásával:

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

A \(\eqref{eq:2.1.12}\) és \(\eqref{eq:2.1.13}\) egyenletek \(\eqref{eq:2.1.11}\) egyenletbe történő behelyettesítésével:

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

A \(\eqref{eq:2.1.14}\) egyenlet a következő alakban írható fel:

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Itt az \(\eqref{eq:2.1.16}\) és \(\eqref{eq:2.1.17}\) egyenletekkel definiált mátrix és vektor komponensei minden végeselemre kiszámíthatók, majd szuperpozícióval összeállíthatók.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Mivel a \(\eqref{eq:2.1.15}\) egyenlet tetszőleges \(\delta \boldsymbol{U}\) virtuális elmozdulásra érvényes, a következő egyenletet kapjuk.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Eközben a \(\eqref{eq:2.1.3}\) egyenlet elmozdulási peremfeltétele a következőképpen írható fel.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

A \(\eqref{eq:2.1.18}\) egyenletnek a \(\eqref{eq:2.1.19}\) kényszerfeltétel melletti megoldásával meghatározható a \(\boldsymbol{U}\) csomóponti elmozdulás.

Lásd még