Kihagyás

Lineáris rugalmasság

Ez a fejezet a lineárisan rugalmas anyagok konstitutív törvényét (Hooke-törvényét) tárgyalja. A modell kiválasztásának és a bemeneti specifikációknak a részleteihez lásd a funkciókat ismertető 03_material szakaszt.

Jelenség (lineárisan rugalmas válasz)

A lineárisan rugalmas test olyan anyag, amely abban a tartományban, ahol a terhelés hatására kialakuló alakváltozás kellően kicsi, lineáris kapcsolatot mutat a feszültség és az alakváltozás között, továbbá reverzibilis, előzményfüggetlen választ ad: tehermentesítéskor minden alakváltozás visszatér a kiindulási állapotába. A képlékenységgel vagy a kúszással ellentétben nem rendelkezik az állapotot leíró belső változókkal (például képlékeny alakváltozással vagy viszkózus alakváltozással), és a feszültséget kizárólag az aktuális alakváltozás egyértelműen meghatározza.

A kis alakváltozások tartományában a Cauchy-feszültséget \(\boldsymbol{\sigma}\) és a végtelenül kis alakváltozást \(\boldsymbol{\varepsilon}\) használjuk; a véges alakváltozások tartományában (nagy elfordulást tartalmazó problémák, amelyekben maga az alakváltozás kicsi) a második Piola–Kirchhoff-feszültséget \(\boldsymbol{S}\) és a Green–Lagrange-alakváltozást \(\boldsymbol{E}\) használjuk (St. Venant–Kirchhoff-anyag).

Konstitutív törvény

Izotróp lineárisan rugalmas anyag

A kis alakváltozások tartományában az izotróp Hooke-törvény a \(\lambda, \mu\) Lamé-állandókkal a következőképpen írható fel:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Komponensalakban:

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

és az alakváltozással vett kettős kontrakció \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) összefüggést ad. A Lamé-állandók a \(E\) Young-modulussal és a \(\nu\) Poisson-tényezővel a következő kapcsolatban állnak:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt-jelölésben az \(\hat{\varepsilon}\) alakváltozás-vektor és az \(\hat{\sigma}\) feszültségvektor kapcsolata \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) alakban írható fel, a háromdimenziós \(D\) anyagmátrix pedig:

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Az implementáció ezt a mátrixos alakot használja.

Ortotróp lineárisan rugalmas anyag

Azoknál az anyagoknál, amelyek rugalmassági állandói a főtengelyek irányában eltérnek, kilenc független állandót tartalmazó ortotróp modellt használunk: a főtengelyek irányú \(E_1, E_2, E_3\) Young-modulusokat, a főtengelyek közötti \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) Poisson-tényezőket, valamint a \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\) nyírási modulusokat. A \(D\) mátrix explicit alakjához lásd a szabványos szakirodalmat.

Véges alakváltozási tartomány: St. Venant–Kirchhoff-anyag

Az olyan problémáknál, amelyek nagy elfordulást tartalmaznak, de maga az alakváltozás kicsi, a St. Venant–Kirchhoff-anyagot használjuk lineárisan rugalmas törvényként a második Piola–Kirchhoff-feszültség \(\boldsymbol{S}\) és a Green–Lagrange-alakváltozás \(\boldsymbol{E}\) között:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

A \(\lambda, \mu\) Lamé-állandók definíciója megegyezik a kis alakváltozás esetével. Megjegyzendő azonban, hogy a feszültség–alakváltozás pár eltérő definíciója miatt ez más konstitutív törvény, mint a kis alakváltozásokra érvényes Hooke-törvény.

Hiporugalmas anyag

A frissített Lagrange-módszerben olyan hiporugalmas anyagot használunk, amely a relatív Kirchhoff-feszültségtenzor Jaumann-deriváltja \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) és az alakváltozási sebesség tenzora \(\boldsymbol{D}\) között alkalmazza a lineárisan rugalmas törvényt:

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

A \(\boldsymbol{C}\) definíciója a Lamé-állandók segítségével itt is megegyezik a fentivel, de a feszültség–alakváltozás pár eltérése miatt ez más konstitutív törvény. A \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) időintegrálási eljárással (előre Euler-integrálás és középpontos differencia-közelítés) történő frissítésének részleteihez lásd a tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex dokumentumot.

Redukció kétdimenziós elemzéshez és héjelemekhez

Síkfeszültségi állapot (\(\sigma_{33} = 0\))

A vékony lemezek és héjak terhelését reprezentáló síkfeszültségi állapotban \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) feltételezést alkalmazunk, és a síkon kívüli \(\varepsilon_{33}\) alakváltozási komponens algebrai eliminálásával kapott \(D\) mátrixot használjuk:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Síkalakváltozási állapot (\(\varepsilon_{33} = 0\))

A vastagságirányban kényszerezett hosszú szerkezet keresztmetszetét reprezentáló síkalakváltozási állapotban \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) feltételezést alkalmazunk:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Tengelyszimmetrikus

A hengerkoordináták \((r, \theta, z)\) \(\theta\) irányában egyenletes problémáit kezelő tengelyszimmetrikus elemzésben megtartjuk a négy \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) feszültségkomponenst és a \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) alakváltozás-komponenst, és

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

adódik.

Héjelemek (síkfeszültség + keresztirányú nyírás)

Héjelemeknél a síkbeli feszültséget síkfeszültségi állapotként kezeljük, a keresztirányú nyírási alakváltozás komponenseire \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) pedig \(\kappa\, G\) értéket használunk a \(\kappa\) nyírási korrekciós tényezővel (általában \(\kappa = 5/6\)). Az egyes elemek részletes megfogalmazásához lásd a Fejlett elemmegfogalmazások fejezetet. A funkciókat ismertető 03_material szakasz azon specifikációja, hogy „a héjelemek csak lineáris rugalmasságot támogatnak”, a síkbeli állapot síkfeszültségi állapotként történő egyszerűsített kezelésén alapul.

Hőmérsékletfüggés

A \(E\) Young-modulust, a \(\nu\) Poisson-tényezőt és a \(\alpha\) lineáris hőtágulási együtthatót általában a \(T\) hőmérséklet függvényeként adjuk meg. A FrontISTR-ben az értékeket véges \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) hőmérsékletpont-sorozathoz adjuk meg, és a számítás során a \(T\) hőmérséklethez tartozó értéket a szomszédos pontok közötti lineáris interpolációval határozzuk meg. A tartományon kívüli hőmérsékleteknél (\(T < T_1\) vagy \(T > T_n\)) a legközelebbi végpont, \(T_1\) vagy \(T_n\), értékét használjuk extrapolációhoz (állandó extrapoláció).

A termikus és hővezetési tulajdonságok (sűrűség, fajhő és hővezetési tényező) hőmérsékletfüggéséhez lásd a Termikus tulajdonságok fejezetet. Az interpolációs szabályok ezekre a tulajdonságokra is azonosak.

Kapcsolódó témák

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status