Kihagyás

Tenzorjelölés és matematikai alapok

Ez a fejezet összefoglalja a FrontISTR elméleti kézikönyvének további fejezeteiben használt tenzorjelölés, indexjelölés és Voigt-jelölés szabályait. Itt kizárólag a fizikai mennyiségek definíciójától független tiszta jelölési szabályokat ismertetjük. A kontinuum mozgásához kapcsolódó konfigurációtól (referencia-/aktuális konfiguráció) függő jelölési szabályok — például a nagy- és kisbetűk használata, valamint az anyagi és térbeli deriváltak megkülönböztetése — a konfiguráció fogalmát bevezető Mozgás, deformáció és alakváltozás fejezetben találhatók.

Tenzorjelölés

Vektorok és tenzorok félkövér jelölése

Tipográfiai alapelvként a skalár mennyiségeket, valamint a vektorok és tenzorok komponenseit normál betűvel (\(\rho\), \(x_i\) stb.), míg magukat a vektor- és tenzormennyiségeket félkövérrel (\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\) stb.) jelöljük.

Einstein-féle összegzési konvenció

Eltérő megjegyzés hiányában az Einstein-féle összegzési konvenciót alkalmazzuk: ha ugyanaz az index ugyanabban a tagban kétszer jelenik meg, akkor az adott indexre összegezni kell. Például

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

és az \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\) tenzorok \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) szorzatának \(i,j\) komponense

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

alakú. Indexelési konvencióként, ha külön megjegyzés nélkül \(i, j, k, l, \ldots\) szerepel indexként, az a szabadságfokokhoz tartozó indexeket jelenti (három dimenzióban \(1, 2, 3\)); ha pedig kis görög betűk, például \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) szerepelnek indexként, azok az elemet alkotó csomópontokhoz tartozó indexeket jelentik.

Belső szorzat, transzponálás és tenzorszorzat

Az \(\boldsymbol{A}\) tenzor transzponáltját \(\boldsymbol{A}^T\) jelöli. A másodrendű \(\boldsymbol{A}\) és \(\boldsymbol{B}\) tenzorok belső szorzatát (kettős kontrakcióját)

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

alakban jelöljük. Az \(\boldsymbol{a}\) és \(\boldsymbol{b}\) vektorok belső szorzata \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), tenzorszorzatuk pedig \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt-jelölés

A feszültség és az alakváltozás a szabadságfokokra vonatkozó szimmetrikus másodrendű tenzorok, a közöttük fennálló lineáris kapcsolat együtthatói pedig negyedrendű tenzort alkotnak. Ezek közvetlen kezelése programban számítási költség és programozás szempontjából (többdimenziós tömbök, mélyen egymásba ágyazott ciklusok) kedvezőtlen. Ezért az általános végeselemes programok a szimmetriát kihasználva a feszültséget és az alakváltozást oszlopvektorba, a negyedrendű rugalmassági tenzort pedig kétdimenziós mátrixba tömörítve kezelik. Ezt nevezzük Voigt-jelölésnek.

A továbbiakban az \(\boldsymbol{A}\) tenzormennyiség mátrix- vagy vektorreprezentációját \(\hat{A}\) jelöli, megkülönböztetve azt az eredeti tenzortól.

A feszültség és alakváltozás vektorreprezentációja

A szimmetrikus \(\boldsymbol{\sigma}\) feszültségtenzor és \(\boldsymbol{\varepsilon}\) alakváltozási tenzor esetén két dimenzióban

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

három dimenzióban pedig

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

alakú oszlopvektorokként kezeljük őket. Ugyanezt a szabályt alkalmazzuk a variációkra, differenciálokra és más származtatott mennyiségekre is. Fontos, hogy az alakváltozás nyírási komponenseihez 2-es tényező tartozik (a feszültség oldalán nem). Ezen aszimmetria miatt a tenzor belső szorzata tömören vektori belső szorzatként írható fel:

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

A megvalósítás során a nyírási alakváltozás komponenseinek 2-es tényezője könnyen eltéveszthető, ezért mindig szem előtt kell tartani a „feszültségnél nincs / alakváltozásnál van” szabályt. Ugyanez a Voigt-konvenció érvényes a referencia-konfiguráció mennyiségeire is (a második Piola-Kirchhoff-feszültségre \(\boldsymbol{S}\) és a Green-Lagrange-alakváltozásra \(\boldsymbol{E}\)).

Negyedrendű tenzor mátrixreprezentációja

A feszültség és alakváltozás \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) lineáris kapcsolatára (komponensalakban \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), a \(\boldsymbol{\varepsilon}\) szimmetriáját felhasználva

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

írható. Három dimenzióban a \(\tilde{C}\) 6×6-os \(\hat{\tilde{C}}\) anyagmátrixként rendezhető el, így az eredeti tenzoregyenlet

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

alakban írható fel. A továbbiakban, külön megjegyzés hiányában, ez a kézikönyv az anyagmátrixot \(D\)-vel (vagy \(\hat{C}\)-vel) jelöli. Az izotróp lineáris rugalmasság konkrét komponenseit lásd a Lineáris rugalmasság fejezetben.

Differenciáloperátorok jelölési szabályai

Szimmetrikus gradiensoperátor

A \(\boldsymbol{u}\) vektormező szimmetrikus gradiensoperátorát, \(\nabla_S\)-t, a következőképpen definiáljuk:

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Komponensalakban \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). A kis alakváltozású \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) alakváltozás ezzel az operátorral tömören kifejezhető. Véges alakváltozás esetén a gradiens képzéséhez használt konfiguráció (referencia/aktuális) megkülönböztetését a Mozgás, deformáció és alakváltozás fejezet tárgyalja.

Anyagi időderivált

Egy \(A\) mennyiség anyagi időderiváltját (ugyanazt az anyagi pontot követő időderiváltat) felső ponttal, \(\dot{A}\)-val jelöljük:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

A sebesség és a gyorsulás is ezt a jelölési szabályt követi.

Kapcsolódó elemek

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status