Sari la conținut

Notația tensorială și fundamentele matematice

Acest capitol reunește convențiile pentru notația tensorială, notația cu indici și notația Voigt utilizate în capitolele următoare ale Manualului teoretic FrontISTR. Aici sunt descrise numai reguli pure de notație, care nu depind de definițiile mărimilor fizice. Convențiile de notație care depind de configurația asociată mișcării mediului continuu (configurația de referință/curentă), precum distincția dintre litere majuscule și minuscule și dintre derivate materiale și spațiale, sunt prezentate în Mișcare, deformare și deformație, unde este introdus conceptul de configurație.

Notația tensorială

Notația cu caractere aldine pentru vectori și tensori

Ca convenție tipografică, mărimile scalare și componentele vectorilor și tensorilor sunt scrise cu caractere normale (de exemplu \(\rho\) și \(x_i\)), iar mărimile vectoriale și tensoriale propriu-zise sunt scrise cu caractere aldine (de exemplu \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) și \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Convenția de sumare Einstein

Dacă nu se specifică altfel, se utilizează convenția de sumare Einstein: atunci când același indice apare de două ori în același termen, se efectuează sumarea după acel indice. De exemplu,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

iar componenta \(i,j\) a produsului \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) al tensorilor \(\boldsymbol{A}\) și \(\boldsymbol{B}\) este

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Ca regulă pentru indici, atunci când \(i, j, k, l, \ldots\) sunt utilizați drept indici fără alte precizări, aceștia desemnează indici asociați gradelor de libertate (\(1, 2, 3\) în trei dimensiuni), iar literele grecești minuscule \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) utilizate drept indici desemnează indici asociați nodurilor care alcătuiesc un element.

Produs interior, transpusă și produs tensorial

Transpusa tensorului \(\boldsymbol{A}\) se notează cu \(\boldsymbol{A}^T\). Produsul interior (contracția dublă) al tensorilor de ordinul al doilea \(\boldsymbol{A}\) și \(\boldsymbol{B}\) se scrie

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Produsul interior al vectorilor \(\boldsymbol{a}\) și \(\boldsymbol{b}\) este \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), iar produsul lor tensorial este \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Notația Voigt

Tensiunea și deformația sunt tensori simetrici de ordinul al doilea în raport cu gradele de libertate, iar coeficienții care reprezintă relația liniară dintre acestea formează un tensor de ordinul al patrulea. Manipularea directă a acestor tensori într-un program este dezavantajoasă din punctul de vedere al costului de calcul și al implementării (tablouri multidimensionale și bucle profund imbricate). De aceea, programele generale cu elemente finite exploatează simetria și comprimă tensiunea și deformația în vectori coloană, iar tensorul de elasticitate de ordinul al patrulea într-o matrice bidimensională. Aceasta se numește notație Voigt.

În continuare, reprezentarea matricială sau vectorială a unei mărimi tensoriale \(\boldsymbol{A}\) se notează cu \(\hat{A}\) pentru a o distinge de tensorul original.

Reprezentarea vectorială a tensiunii și deformației

Pentru tensorul simetric al tensiunilor \(\boldsymbol{\sigma}\) și tensorul deformațiilor \(\boldsymbol{\varepsilon}\), în două dimensiuni,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

iar în trei dimensiuni,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

acestea sunt tratate ca vectori coloană, după cum se arată mai sus. Aceeași regulă se aplică mărimilor derivate, precum variațiile și diferențialele. Rețineți că componentele de forfecare ale deformației au un factor 2 (cele ale tensiunii nu). Datorită acestei asimetrii, produsul interior tensorial poate fi scris compact ca produs interior vectorial

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

În implementare, factorul 2 al componentelor de forfecare ale deformației poate fi tratat ușor greșit, astfel încât trebuie avută permanent în vedere convenția „absent la tensiune / prezent la deformație”. Exact aceeași convenție Voigt se aplică mărimilor din configurația de referință (tensiunea a doua Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) și deformația Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\)).

Reprezentarea matricială a unui tensor de ordinul al patrulea

Pentru relația liniară dintre tensiune și deformație, \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (în formă pe componente, \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), folosirea simetriei lui \(\boldsymbol{\varepsilon}\) conduce la

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

În trei dimensiuni, aranjarea lui \(\tilde{C}\) sub forma matricei de material 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\) permite exprimarea relației tensoriale originale astfel:

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

În continuarea acestui manual, dacă nu se specifică altfel, matricea de material este notată cu \(D\) (sau \(\hat{C}\)). Pentru componentele specifice elasticității liniare izotrope, consultați Elasticitate liniară.

Convenții pentru operatorii diferențiali

Operatorul gradient simetric

Operatorul gradient simetric \(\nabla_S\) pentru un câmp vectorial \(\boldsymbol{u}\) este definit prin

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

În formă pe componente, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Deformația pentru deplasări infinitezimale \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) poate fi exprimată compact cu acest operator. Distincția dintre configurațiile (de referință/curentă) față de care sunt calculați gradienții în cazul deformațiilor finite este tratată în Mișcare, deformare și deformație.

Derivata materială în timp

Derivata materială în timp a unei mărimi \(A\) (derivata în timp urmărind același punct material) este notată printr-un punct deasupra, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Viteza și accelerația urmează această convenție.

Subiecte conexe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status