Cadrul analizei incrementale¶
Necesitatea analizei incrementale¶
Așa cum s-a descris mai sus, în analiza problemelor cu deformații mici, analiza prin elemente finite poate fi efectuată utilizând principiul lucrului virtual, care este echivalent cu ecuațiile fundamentale precum ecuațiile de echilibru, și discretizând această ecuație cu elemente finite. Același principiu de bază al lucrului virtual este utilizat și în analiza problemelor cu deformații finite care implică deformații mari ale structurilor.
Totuși, în problemele cu deformații finite, chiar dacă se presupune liniaritatea materialului, ecuația principiului lucrului virtual devine neliniară în raport cu deplasarea. Pentru rezolvarea ecuațiilor neliniare, în general se efectuează calcule iterative utilizând o metodă iterativă.
În aceste calcule iterative se utilizează o metodă de analiză incrementală, în care calculul este efectuat în mod secvențial pentru incrementări mici ale sarcinii, iar incrementările sunt acumulate până când se ajunge la starea finală deformată. Când se presupune o problemă cu deformații mici, nu se face o distincție particulară între configurațiile de dinainte și de după deformare la definirea deformației specifice și a tensiunii. Cu alte cuvinte, în ipoteza deformațiilor mici, nu contează dacă configurația utilizată pentru descrierea ecuațiilor fundamentale este cea de dinainte sau cea de după deformare.
Când se efectuează o analiză incrementală pentru o problemă cu deformații finite, formularea diferă în funcție de alegerea ca configurație de referință a configurației inițiale sau a configurației de la începutul incrementului. Prima se numește metoda Lagrange totală, iar a doua metoda Lagrange actualizată. Pentru detalii, consultați referințele de la sfârșitul capitolului și materialele conexe.
Ecuația de pornire: principiul lucrului virtual la momentul \(t'\)¶
Considerăm o analiză incrementală în care starea până la momentul \(t\) este cunoscută, iar starea la momentul \(t' = t + \Delta t\) este necunoscută (vezi Figura 2.2.1). Ecuațiile de echilibru, condițiile de frontieră și principiul lucrului virtual la momentul \(t'\) (exprimate în configurația curentă folosind tensiunea Cauchy \(^{t'}\sigma\) și partea liniară a deformației Almansi \(^{t'} A_{(L)}\)) sunt prezentate în Principiul lucrului virtual.
Figura 2.2.1 Conceptul analizei incrementale
Totuși, deoarece această ecuație de pornire este scrisă în configurația (necunoscută) de la momentul \(t'\), procedura efectivă de rezolvare selectează drept configurație de referință fie configurația inițială \(V\) de la momentul \(0\), fie configurația curentă \(^{t'} v\) de la momentul \(t\), rescrie ecuația în formă incrementală și apoi o rezolvă:
- Metoda Lagrange totală — Utilizează configurația inițială \(V\) ca referință. Se folosesc a doua tensiune PK \(\boldsymbol{S}\) și deformația Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\).
- Metoda Lagrange actualizată — Utilizează configurația curentă \(^{t}v\) de la începutul incrementului ca referință. Se folosesc tensiunea Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) și partea liniară a deformației Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).
Pentru discretizarea spațială a ambelor formulări (matricea B și vectorul forțelor interne), consultați Discretizarea lucrului virtual intern; pentru liniarizare și construirea rigidității tangente, consultați Matricea de rigiditate tangentă.
Subiecte conexe¶
- Principiul lucrului virtual — Ecuația principală de pornire (forma slabă în configurațiile curentă și inițială)
- Discretizarea lucrului virtual intern — Matricele B și vectorii forțelor interne pentru TL/UL
- Matricea de rigiditate tangentă — \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\) obținute prin liniarizare
- Metoda Newton-Raphson — Algoritmul iterativ