Sari la conținut

Integrare numerică

Vectorii forțelor interne ale elementului \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) și matricea de rigiditate a elementului \(\boldsymbol{K}^e\) obținute în Discretizarea lucrului mecanic virtual intern și Lucrul mecanic virtual extern și asamblarea ecuației globale au forma unor integrale pe domeniul elementului \(\Omega^e\) sau \(\Omega^e_0\). FrontISTR le evaluează numeric folosind cuadratura Gauss.

Cuadratura Gauss și schimbarea variabilelor

Cuadratura Gauss aproximează o integrală pe domeniul de referință \(\Xi\) printr-o combinație liniară a valorilor integrandului în punctele de integrare \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) și a ponderilor \(w_i\). Aplicarea acesteia domeniului elementului \(\Omega^e\) implică o schimbare de variabile prin maparea \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), ceea ce conduce la

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

unde \(n_q\) este numărul punctelor de integrare, iar \(J_{\xi_i}\) este determinantul Jacobianului transformării. Domeniul de referință \(\Xi\) este definit pentru fiecare tip de element (pentru un hexaedru, \([-1,1]^3\); pentru triunghiuri, tetraedre și prisme, formele de referință corespunzătoare), iar punctele de integrare \(\boldsymbol{\xi}_i\) și ponderile \(w_i\) sunt date sub formă de tabele numerice. Integralele de suprafață sunt tratate în aceeași formă prin maparea unei fețe a elementului dintr-un domeniu de referință bidimensional.

Mai jos sunt prezentate numere reprezentative de puncte de integrare utilizate de FrontISTR (pentru corespondența cu tipurile de element, consultați Schema de numerotare a elementelor și biblioteca funcțiilor de formă).

Tipul elementului Regula de cuadratură Numărul punctelor de integrare
Tetraedru cu 4 noduri (tet4n) Regulă cu 1 punct 1
Tetraedru cu 10 noduri (tet10n) Regulă cu 4 puncte 4
Prismă triunghiulară cu 6 noduri (prism6n) Regulă cu 2 puncte 2
Prismă triunghiulară cu 15 noduri (prism15n) Regulă cu 9 puncte 9
Hexaedru cu 8 noduri (hex8n) Gauss-Legendre 2×2×2 8
Hexaedru cu 20 de noduri (hex20n) Gauss-Legendre 3×3×3 27
Patrulater cu 4 noduri (quad4n) Gauss-Legendre 2×2 4
Patrulater cu 8 noduri (quad8n) Gauss-Legendre 3×3 9
Triunghi cu 3 noduri (tri3n) Regulă cu 1 punct 1
Triunghi cu 6 noduri (tri6n) Regulă cu 3 puncte 3

Pentru elementele hexaedrice, patrulatere și liniare se folosesc produse tensoriale ale regulii Gauss-Legendre pe fiecare direcție de coordonate. Triunghiurile, tetraedrele și prismele triunghiulare folosesc reguli dedicate, adaptate geometriilor de tip simplex (aranjamente de puncte care integrează exact polinoamele pe triunghiul propriu-zis).

Aplicarea la integrarea pe element

În integrarea pe element, coordonatele naturale \(\boldsymbol{r}\) sunt utilizate drept coordonate ale domeniului de referință (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), iar maparea în coordonate fizice este dată de interpolarea coordonatelor nodale folosind funcțiile de formă. În funcție de alegerea configurației de referință (Cadrul analizei incrementale), se utilizează formulările următoare.

Metoda Lagrangiană totală (integrare pe configurația de referință \(\Omega^e_0\)): maparea și Jacobianul sunt

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

iar forța internă a elementului și matricea de rigiditate sunt aproximate prin

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Toate mărimile \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) sunt evaluate în punctul de integrare \(\boldsymbol{r}_i\).

Metoda Lagrangiană actualizată (integrare pe configurația curentă \(\Omega^e\)): maparea și Jacobianul sunt

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

iar

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

sunt utilizate drept aproximări.

Singura diferență dintre cele două formulări este dacă coordonatele nodale furnizate mapării sunt \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) sau \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); punctele de integrare, ponderile și structura buclei peste punctele de integrare sunt comune.

Integrare completă și integrare redusă

Integrarea care folosește suficiente puncte de integrare pentru a integra exact gradul polinomial al integrandului se numește integrare completă, iar integrarea care utilizează cu un nivel mai puține puncte de integrare se numește integrare redusă. Integrarea redusă este utilizată pentru atenuarea blocării la forfecare și volumetrice, dar necesită tratarea modurilor de deformație parazite, precum modurile hourglass. Numărul punctelor de integrare pentru fiecare tip de element și alegerea între integrarea completă și cea redusă sunt tratate în Schema de numerotare a elementelor și biblioteca funcțiilor de formă și secțiunile următoare, precum și în Formulări avansate ale elementelor.

Subiecte conexe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status