Gå till innehållet

Numerisk integration

Elementens inre kraftvektorer \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) och elementstyvhetsmatrisen \(\boldsymbol{K}^e\), som erhölls i Diskretisering av det virtuella arbetet för inre krafter och Virtuellt arbete för yttre krafter och sammansättning av det globala ekvationssystemet, har formen av integraler över elementområdet \(\Omega^e\) eller \(\Omega^e_0\). FrontISTR utvärderar dessa numeriskt med Gauss-kvadratur.

Gauss-kvadratur och variabelbyte

Gauss-kvadratur approximerar en integral över referensområdet \(\Xi\) med en linjärkombination av integrandens värden i integrationspunkterna \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) och vikterna \(w_i\). Vid tillämpning på elementområdet \(\Omega^e\) görs ett variabelbyte genom avbildningen \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), vilket ger

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

där \(n_q\) är antalet integrationspunkter och \(J_{\xi_i}\) är determinanten för transformationsjakobianen. Referensområdet \(\Xi\) bestäms för varje elementtyp (för en hexaeder är det \([-1,1]^3\), och för trianglar, tetraedrar och kilformade element respektive referensform), medan integrationspunkterna \(\boldsymbol{\xi}_i\) och vikterna \(w_i\) ges i numeriska tabeller. Ytintegraler behandlas på samma sätt genom att en elementyta avbildas från ett tvådimensionellt referensområde.

Nedan visas representativa antal integrationspunkter som används i FrontISTR (för kopplingen till elementtyper, se Elementnumreringssystem och bibliotek för formfunktioner).

Elementtyp Integrationsformel Antal integrationspunkter
4-nodig tetraeder (tet4n) 1-punktsformel 1
10-nodig tetraeder (tet10n) 4-punktsformel 4
6-nodigt triangulärt prisma (prism6n) 2-punktsformel 2
15-nodigt triangulärt prisma (prism15n) 9-punktsformel 9
8-nodig hexaeder (hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
20-nodig hexaeder (hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
4-nodig fyrhörning (quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
8-nodig fyrhörning (quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
3-nodig triangel (tri3n) 1-punktsformel 1
6-nodig triangel (tri6n) 3-punktsformel 3

För hexaeder-, fyrhörnings- och linjeelement används tensorprodukten av Gauss-Legendre-formeln i varje axelriktning. För trianglar, tetraedrar och triangulära prismor används särskilda formler anpassade till simplexformer (punktplaceringar som integrerar polynom exakt över själva triangeln).

Tillämpning på elementintegration

Vid elementintegration används de naturliga koordinaterna \(\boldsymbol{r}\) som koordinater i referensområdet (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), och avbildningen till fysiska koordinater ges genom interpolation av nodkoordinater med formfunktionerna. Beroende på val av referenskonfiguration (Ramverk för inkrementell analys) används följande formuleringar.

Total Lagrange-metoden (integration över referenskonfigurationen \(\Omega^e_0\)): avbildningen och jakobianen är

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

och elementets inre kraft och styvhetsmatris approximeras som

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Alla \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) utvärderas i integrationspunkten \(\boldsymbol{r}_i\).

Updated Lagrange-metoden (integration över den aktuella konfigurationen \(\Omega^e\)): avbildningen och jakobianen anges som

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

och för elementets inre kraft och styvhetsmatris gäller

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

som approximation.

Skillnaden mellan de två formuleringarna är endast om nodkoordinaterna som matas in i avbildningen är \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) eller \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); integrationspunkter, vikter och integrationspunktsslingans struktur är gemensamma.

Full integration och reducerad integration

Integration med så många integrationspunkter att integrandens polynomgrad kan integreras exakt kallas full integration, medan integration med ett steg färre integrationspunkter kallas reducerad integration. Reducerad integration används för att minska skjuv- och volymlåsning, men kräver hantering av falska deformationsmoder såsom timglasmoder. Antalet integrationspunkter för varje elementtyp och valet mellan full och reducerad integration behandlas från och med Elementnumreringssystem och bibliotek för formfunktioner samt i Avancerade elementformuleringar.

Relaterade ämnen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status