Elastoplasticitet

Detta kapitel beskriver ramverket för den elastoplastiska konstitutiva lag som används i FrontISTR. För detaljer om val och indataspecifikationer, se 03_material i avsnittet Funktioner.

Fenomen (plastisk deformation)

TBD (skrivs i nästa fas).

Ramverk för konstitutiv lag

FrontISTR använder en elastoplastisk konstitutiv ekvation baserad på en associerad flödesregel. Den konstitutiva ekvationen uttrycker sambandet mellan Jaumann-hastigheten för Kirchhoff-spänningen och deformationshastighetstensor, och deformationsanalysen använder updated-Lagrange-formuleringen.

Antag att flytvillkoret för ett elastoplastiskt material ges enligt följande.

Initialt flytvillkor:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Efterföljande flytvillkor:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

där

• \(F\): flytfunktion
• \(\sigma_{y_0}\): initial flytspänning
• \(\sigma_y\): efterföljande flytspänning
• \(\sigma\): spänningstensor
• \(e\): infinitesimal töjningstensor
• \(e^p\): plastisk töjningstensor
• \(\overline{e}^p\): ekvivalent plastisk töjning

Sambandet mellan flytspänning och ekvivalent plastisk töjning antas sammanfalla med sambandet mellan spänning och plastisk töjning vid enaxligt tillstånd.

Samband mellan spänning och plastisk töjning vid enaxligt tillstånd

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

där \(H'\) är töjningshårdningsmodulen.

Samband mellan ekvivalent spänning och ekvivalent plastisk töjning

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

I allmänhet är den efterföljande flytfunktionen en funktion av temperatur och plastiskt töjningsarbete, men för enkelhets skull antas den här endast vara en funktion av den ekvivalenta plastiska töjningen \(\overline{e}^p\). Under den plastiska deformationens fortskridande måste \(F = 0\) fortsätta att gälla, och därför måste följande ekvation uppfyllas.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Här betecknar \(\dot{F}\) tidsderivatan av \(F\). I fortsättningen betecknas tidsderivatan av en storhet \(A\) med \(\dot{A}\).

Antag att en plastisk potential \(\Theta\) existerar och uttryck den plastiska töjningshastigheten med följande ekvation.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Här är \(\dot{\lambda}\) en koefficient.

Om det dessutom antas att den plastiska potentialen \(\Theta\) är lika med flytfunktionen \(F\) används följande associerade flödesregel.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Insättning av denna ekvation i konsistensvillkoret ger följande ekvation.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Här är \(D\) elasticitetsmatrisen, och

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Det elastoplastiska spännings–töjningssambandet kan skrivas enligt följande.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

När flytfunktionen \(F\) för det elastoplastiska materialet är känd erhålls dess konstitutiva ekvation från detta uttryck.

Flytfunktioner

De elastoplastiska flytfunktioner som används i FrontISTR listas nedan.

von Mises-flytfunktion

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Här är \(J_2\) den andra invarianten för den deviatoriska spänningstensorn.

Mohr-Coulomb-flytfunktion

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Här är \(\sigma_1, \sigma_3\) den största respektive minsta huvudspänningen, \(c\) kohesionen och \(\phi\) den inre friktionsvinkeln.

Drucker-Prager-flytfunktion

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Här beräknas materialkonstanterna \(\alpha\) och \(\sigma_y\) från materialets kohesion och friktionsvinkel enligt följande.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Relaterade ämnen

• Linjär elasticitet — Elastisk respons (den elastiska delen av elastoplasticiteten)
• Tangentstyvhetsmatris — Tangentstyvhet för inkrementell analys inklusive materiell icke-linjäritet
• Materialdata (funktioner) — Alternativ och val av flytfunktioner och hårdningslagar