Gå till innehållet

Formfunktioner för tredimensionella solida element

Detta kapitel sammanfattar de naturliga koordinatsystemen och de explicita formerna för formfunktionerna \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) som introduceras i Formfunktioner och finita elementapproximation för de tredimensionella solida element som FrontISTR använder i kontinuumanalys. De sex elementtyperna är tetraedrar av första/andra ordningen (341/342), triangulära prismor av första/andra ordningen (351/352) och hexaedrar av första/andra ordningen (361/362). För nodordning och ytnummer i HEC-MW-nätformatet, se Elementbibliotek i funktionsreferensen.

Proceduren för att konstruera elementintegrationen från dessa formfunktioner och jakobiandeterminanten följer Numerisk integration. B-bar-, F-bar- och inkompatibla formuleringar för 361 samt formfunktioner för balk- och skalelement behandlas i Avancerade elementformuleringar.

Naturliga koordinatsystem och intern nodordning

Formfunktioner definieras på varje elements naturliga koordinater \(\boldsymbol{r}\). Tredimensionella solida element använder följande tre naturliga koordinatsystem beroende på elementformen.

  • Hexaedrar (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraedrar (341/342): volymkoordinater \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), där \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) och \(L_i \ge 0\). Med \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) som oberoende variabler är \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Triangulära prismor (351/352): kombinera bastriangelns volymkoordinater \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) med den axiella koordinaten \(\zeta \in [-1, 1]\) så att \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Hjälpstorheten \(a = 1 - \xi - \eta\) används som basens tredje volymkoordinat.

För element av första ordningen är elementnodnumreringen densamma i HEC-MW:s indataformat och det interna formatet. För element av andra ordningen skiljer sig konventionerna för ordningen på kantmittnoder. FrontISTR accepterar HEC-MW-formatet som indata (hörnnoder listas runt elementet, följda av kantmittnoder i kantordningen 1-2, 2-3, …), medan formfunktionerna i elementbiblioteket är implementerade med antagandet om en annan nodordning.

Skillnaden mellan de två formaten hanteras av hecmw2fstr_mesh_conv, som anropas direkt efter inläsning av nätet och ordnar om noderna för varje element. Bland tredimensionella solida element konverteras följande två typer.

Elementtyp Konverteringstabell Beskrivning
342 (tetraeder av andra ordningen) Table342 Ordnar om de 10 noderna till \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (triangulärt prisma av andra ordningen) Table352 Ordnar om de 15 noderna till \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Eftersom omordningen utförs direkt i arrayen som lagrar elementanslutningarna använder alla efterföljande anrop till elementbiblioteket FrontISTR:s interna nodordning. För hexaederelement 362 av andra ordningen finns ingen konverteringstabell eftersom ordningen på kantmittnoder är densamma i HEC-MW-indata och FrontISTR:s interna format. Vid resultatutmatning återställer den inversa konverteringen fstr2hecmw_mesh_conv HEC-MW:s nodordning innan skrivning, så användaren behöver bara känna till HEC-MW-formatet för både in- och utdata. Nodnumren i formfunktionerna nedan använder det konverterade interna FrontISTR-formatet.

Formfunktioner för element av första ordningen

För tetraederelementet av första ordningen (341) är formfunktionerna själva volymkoordinaterna:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

För det triangulära prismaelementet av första ordningen (351) är formfunktionerna produkter av bastriangelns linjära formfunktioner (\(a, \xi, \eta\)) och de linjära axiella formfunktionerna (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

För hexaederelementet av första ordningen (361) är formfunktionerna tensorprodukter av linjära formfunktioner i de tre koordinatriktningarna:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Här är \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) de naturliga koordinatvärdena för nod \(\alpha\) (varje komponent är \(\pm 1\)).

Formfunktioner för element av andra ordningen

För tetraederelementet av andra ordningen (342) delas formfunktionerna upp i fyra hörnnoder och sex kantmittnoder:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Kantmittnoderna 5–10 motsvarar i tur och ordning mittpunkterna på kanterna 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 och 3-4.

Det triangulära prismaelementet av andra ordningen (352) består av sex hörnnoder, sex kantmittnoder på de triangulära ytorna och tre kantmittnoder på de axiella kanterna:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Kantmittnoderna 7–9 motsvarar kantmittpunkterna på den nedre triangeln (\(\zeta = -1\)), noderna 10–12 kantmittpunkterna på den övre triangeln (\(\zeta = +1\)), och noderna 13–15 mittpunkterna på de axiella kanterna.

Hexaederelementet av andra ordningen (362) är ett 20-nodigt element i Serendipity-familjen. Låt de naturliga koordinatvärdena för nod \(\alpha\) vara \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). För hörnnoder (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), där varje komponent är \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

För kantmittnoder (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), där en av de tre naturliga koordinaterna är \(0\) och de andra två är \(\pm 1\)) gäller för noder med \(\xi_\alpha = 0\) (kanter orienterade i \(\xi\)-riktningen)

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Kantmittnoder vars kantriktning är \(\eta\)- eller \(\zeta\)-axeln ges analogt, där motsvarande naturliga koordinat elimineras av kvadrattermen.

Relaterade ämnen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status