Spänning och bevarandelagar¶

Detta kapitel sammanställer definitionerna och sambanden mellan spänningstensorer samt de jämviktsekvationer och den spänningssymmetri som härleds ur bevarande av massa, rörelsemängd och rörelsemängdsmoment. De tre spänningstensorerna—Cauchy-spänning \(\boldsymbol{\sigma}\), första Piola-Kirchhoff-spänning \(\boldsymbol{P}\) och andra Piola-Kirchhoff-spänning \(\boldsymbol{S}\)—introduceras utifrån vilken konfiguration som används för referensytan och kraftvektorn. Se Rörelse, deformation och töjning för definitioner av konfiguration, rörelse och deformationsgradient samt Lista över symboler för fysikaliska storheter för symbollistan.

Cauchys spänningstensor¶

Låt kraften som verkar på en infinitesimal yta vid punkten \(\boldsymbol{x}\) i den aktuella konfigurationen (area \(d\Gamma\), utåtriktad enhetsnormal \(\boldsymbol{n}\)) vara \(d\boldsymbol{f}\), och definiera spänningsvektorn \(\boldsymbol{t}\) som kraften per area genom \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) beror både på positionen \(\boldsymbol{x}\) och normalen \(\boldsymbol{n}\). Genom att tillämpa bevarande av rörelsemängd på en infinitesimal tetraeder visas att \(\boldsymbol{t}\) är linjär i \(\boldsymbol{n}\), så att det finns en tensor av andra ordningen \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) sådan att

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

för varje \(\boldsymbol{n}\) (Cauchys spänningssats). Denna tensor \(\boldsymbol{\sigma}\) kallas Cauchys spänningstensor och även sann spänning, eftersom den representerar kraft per area mätt med avseende på geometrin i den aktuella konfigurationen. Komponenten \(\sigma_{ij}\) representerar den komponent av kraften per area som verkar på en infinitesimal yta normal mot koordinataxeln \(x_j\) i den aktuella konfigurationen och som är riktad längs \(x_i\).

Som visas senare från bevarande av rörelsemängdsmoment är Cauchy-spänningen en symmetrisk tensor:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

I tre dimensioner har den därför sex oberoende komponenter (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Vektorisering av spänning i Voigt-notation förutsätter denna symmetri (se Tensornotation och matematiska grunder). Cauchy-spänning används för spänningsutdata i geometriskt olinjära FrontISTR-analyser med Updated Lagrange-metoden och i analys med små deformationer.

Första och andra Piola-Kirchhoff-spänningen¶

Vid ändliga deformationer är det ofta praktiskt att uttrycka spänning med hänvisning till ytor och vektorer i referenskonfigurationen, och därför introduceras två Piola-Kirchhoff-spänningstensorer. Låt arean av en infinitesimal yta i referenskonfigurationen vara \(d\Gamma_0\) och dess utåtriktade enhetsnormal vara \(\boldsymbol{N}\).

Den första Piola-Kirchhoff-spänningen (första PK-spänningen, nominell spänning) \(\boldsymbol{P}\) definieras som den spänningstensor som erhålls när kraften \(d\boldsymbol{f}\) i den aktuella konfigurationen appliceras på en infinitesimal yta i referenskonfigurationen:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Genom att använda Nansons formel \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) tillsammans med Cauchys spänningssats erhålls sambandet med Cauchy-spänningen

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Den första PK-spänningen är i allmänhet osymmetrisk.

Den andra Piola-Kirchhoff-spänningen (andra PK-spänningen) \(\boldsymbol{S}\) definieras som den spänningstensor som erhålls genom att dra tillbaka kraften \(d\boldsymbol{f}\) i den aktuella konfigurationen till referenskonfigurationen med \(\boldsymbol{F}^{-1}\) och applicera den på en infinitesimal yta i referenskonfigurationen:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Både kraftvektorn och ytan som den verkar på uttrycks med storheter i referenskonfigurationen, vilket gör den invariant under stel kroppsrotation och symmetrisk. Sambandet med den första PK-spänningen och transformationen från Cauchy-spänningen är

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Den andra PK-spänningen härleds från en hyperelastisk töjningsenergifunktion \(W(\boldsymbol{C})\) som \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) och används i Total Lagrange-metoden tillsammans med Green-Lagrange-töjningen \(\boldsymbol{E}\) som det arbetskonjugerade paret \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Referenskonfigurationerna och symmetriegenskaperna sammanfattas nedan. I gränsen för små deformationer (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) sammanfaller de tre spänningarna.

Spänningstensor	Referensyta	Kraftvektor	Symmetri	Tillämpning
Cauchy-spänning \(\boldsymbol{\sigma}\)	Aktuell konfiguration \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Aktuell konfiguration \(d\boldsymbol{f}\)	Symmetrisk	Updated Lagrange-metoden / analys med små deformationer
Första PK-spänningen \(\boldsymbol{P}\)	Referenskonfiguration \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Aktuell konfiguration \(d\boldsymbol{f}\)	I allmänhet osymmetrisk	Jämviktsekvationer i referenskonfigurationen
Andra PK-spänningen \(\boldsymbol{S}\)	Referenskonfiguration \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Referenskonfiguration \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Symmetrisk	Total Lagrange-metoden / hyperelasticitet

Bevarande av massa och rörelsemängd samt jämviktsekvationerna¶

Låt \(\rho\) vara massdensiteten i den aktuella konfigurationen och \(\rho_0\) massdensiteten i referenskonfigurationen. Massbevarandelagen \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), tillsammans med transformationen av volymelementet \(dv = J\, dV\), reduceras till den lokala formen

\[ \rho_0 = J \rho \]

Detta är den lokala massbevaranderelationen.

Låt \(\boldsymbol{g}\) vara kroppskraften per massenhet och \(\boldsymbol{a}\) accelerationen. Genom att tillämpa Cauchys spänningssats och Gauss divergenssats på bevarande av linjär rörelsemängd (Eulers första rörelselag) erhålls den lokala jämviktsekvationen (rörelseekvationen) i den aktuella konfigurationen:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Om integralen skrivs om i referenskonfigurationen med Nansons formel och \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) erhålls den lokala formen i referenskonfigurationen:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

De två formerna är ekvivalenta genom spänningstransformationsregeln och \(\rho_0 = J\rho\). Om tröghetstermen försummas erhålls

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

vilket är den statiska jämviktsekvationen och utgör utgångspunkten för FrontISTR:s statiska analys (linjär och olinjär).

Bevarande av rörelsemängdsmoment och spänningssymmetri¶

Genom att kombinera bevarande av rörelsemängdsmoment (Eulers andra rörelselag) med jämviktsekvationen från bevarande av linjär rörelsemängd erhålls symmetrin hos Cauchys spänningstensor:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Den har således sex oberoende komponenter i tre dimensioner. Genom att transponera båda leden i transformationen \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) och använda att \(\boldsymbol{F}\) är icke-singulär visas att den andra PK-spänningen också är symmetrisk:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

och har därför också sex oberoende komponenter. Däremot är den första PK-spänningen \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) i allmänhet inte symmetrisk; endast relationen \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) gäller (det vill säga att \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) är symmetrisk), och den har nio oberoende komponenter.

Dessa symmetrier ligger till grund för att uttrycka spänning som en sexkomponentsvektor i Voigt-notation. Se Tensornotation och matematiska grunder och Linjär elasticitet för konventioner för Voigt-notation och uppbyggnad av materialmatriser.