Ứng suất và các định luật bảo toàn¶

Chương này hệ thống hóa các định nghĩa và mối quan hệ giữa các tensor ứng suất, cùng với các phương trình cân bằng và tính đối xứng của ứng suất được suy ra từ định luật bảo toàn khối lượng, động lượng tuyến tính và mômen động lượng. Ba tensor ứng suất—ứng suất Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\), ứng suất Piola-Kirchhoff thứ nhất \(\boldsymbol{P}\) và ứng suất Piola-Kirchhoff thứ hai \(\boldsymbol{S}\)—được giới thiệu theo cấu hình được dùng cho mặt tham chiếu và vectơ lực. Xem Chuyển động, biến dạng và độ biến dạng để biết các định nghĩa về cấu hình, chuyển động và gradient biến dạng, và Danh sách ký hiệu đại lượng vật lý để xem danh sách ký hiệu.

Tensor ứng suất Cauchy¶

Gọi \(d\boldsymbol{f}\) là lực tác dụng lên một mặt vi phân tại điểm \(\boldsymbol{x}\) trong cấu hình hiện tại (diện tích \(d\Gamma\), pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài \(\boldsymbol{n}\)), và định nghĩa vectơ lực bề mặt \(\boldsymbol{t}\) là lực trên một đơn vị diện tích theo \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) phụ thuộc cả vào vị trí \(\boldsymbol{x}\) và pháp tuyến \(\boldsymbol{n}\). Áp dụng bảo toàn động lượng cho một tứ diện vi phân cho thấy \(\boldsymbol{t}\) tuyến tính theo \(\boldsymbol{n}\), do đó tồn tại một tensor bậc hai \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) sao cho

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

với mọi \(\boldsymbol{n}\) (định lý ứng suất Cauchy). Tensor \(\boldsymbol{\sigma}\) này được gọi là tensor ứng suất Cauchy, và cũng được gọi là ứng suất thực vì nó biểu diễn lực trên một đơn vị diện tích được đo theo hình học của cấu hình hiện tại. Thành phần \(\sigma_{ij}\) biểu diễn thành phần theo \(x_i\) của lực trên một đơn vị diện tích tác dụng lên mặt vi phân có pháp tuyến theo trục tọa độ \(x_j\) trong cấu hình hiện tại.

Như sẽ được chỉ ra sau từ định luật bảo toàn mômen động lượng, ứng suất Cauchy là một tensor đối xứng:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Vì vậy, trong ba chiều nó có sáu thành phần độc lập (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Việc vectơ hóa ứng suất theo ký hiệu Voigt giả định tính đối xứng này (xem Ký hiệu tensor và cơ sở toán học). Ứng suất Cauchy được dùng để xuất ứng suất trong phân tích phi tuyến hình học của FrontISTR bằng phương pháp Updated Lagrange và trong phân tích biến dạng nhỏ.

Ứng suất Piola-Kirchhoff thứ nhất và thứ hai¶

Đối với biến dạng hữu hạn, thường thuận tiện khi biểu diễn ứng suất theo các mặt và vectơ trong cấu hình tham chiếu, do đó hai tensor ứng suất Piola-Kirchhoff được đưa vào. Gọi diện tích của một mặt vi phân trong cấu hình tham chiếu là \(d\Gamma_0\) và pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài của nó là \(\boldsymbol{N}\).

Ứng suất Piola-Kirchhoff thứ nhất (ứng suất PK thứ nhất, ứng suất danh nghĩa) \(\boldsymbol{P}\) được định nghĩa là tensor ứng suất thu được khi lực \(d\boldsymbol{f}\) trong cấu hình hiện tại tác dụng lên một mặt vi phân trong cấu hình tham chiếu:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Dùng công thức Nanson \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) cùng với định lý ứng suất Cauchy cho quan hệ với ứng suất Cauchy

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Ứng suất PK thứ nhất nói chung là không đối xứng.

Ứng suất Piola-Kirchhoff thứ hai (ứng suất PK thứ hai) \(\boldsymbol{S}\) được định nghĩa là tensor ứng suất thu được bằng cách kéo lực \(d\boldsymbol{f}\) trong cấu hình hiện tại về cấu hình tham chiếu bằng \(\boldsymbol{F}^{-1}\) rồi tác dụng nó lên một mặt vi phân trong cấu hình tham chiếu:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Cả vectơ lực và mặt mà nó tác dụng lên đều được biểu diễn bằng các đại lượng của cấu hình tham chiếu, nhờ đó nó bất biến đối với chuyển động quay vật rắn và có tính đối xứng. Quan hệ của nó với ứng suất PK thứ nhất và phép biến đổi từ ứng suất Cauchy là

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Ứng suất PK thứ hai được suy ra từ hàm năng lượng biến dạng siêu đàn hồi \(W(\boldsymbol{C})\) theo \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) và, trong phương pháp Total Lagrange, được dùng cùng với biến dạng Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) như cặp liên hợp công \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Các cấu hình tham chiếu và tính chất đối xứng được tóm tắt dưới đây. Trong giới hạn biến dạng nhỏ (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)), ba loại ứng suất trùng nhau.

Tensor ứng suất	Mặt tham chiếu	Vectơ lực	Tính đối xứng	Ứng dụng
Ứng suất Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\)	Cấu hình hiện tại \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Cấu hình hiện tại \(d\boldsymbol{f}\)	Đối xứng	Phương pháp Updated Lagrange / phân tích biến dạng nhỏ
Ứng suất PK thứ nhất \(\boldsymbol{P}\)	Cấu hình tham chiếu \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Cấu hình hiện tại \(d\boldsymbol{f}\)	Nói chung không đối xứng	Phương trình cân bằng trong cấu hình tham chiếu
Ứng suất PK thứ hai \(\boldsymbol{S}\)	Cấu hình tham chiếu \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Cấu hình tham chiếu \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Đối xứng	Phương pháp Total Lagrange / siêu đàn hồi

Bảo toàn khối lượng, động lượng và các phương trình cân bằng¶

Gọi \(\rho\) là khối lượng riêng trong cấu hình hiện tại và \(\rho_0\) là khối lượng riêng trong cấu hình tham chiếu. Định luật bảo toàn khối lượng \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), kết hợp với phép biến đổi phần tử thể tích \(dv = J\, dV\), được rút gọn về dạng cục bộ

\[ \rho_0 = J \rho \]

Đây là quan hệ bảo toàn khối lượng cục bộ.

Gọi \(\boldsymbol{g}\) là lực khối trên một đơn vị khối lượng và \(\boldsymbol{a}\) là gia tốc. Áp dụng định lý ứng suất Cauchy và định lý phân kỳ Gauss cho bảo toàn động lượng tuyến tính (định luật chuyển động thứ nhất của Euler) cho phương trình cân bằng (phương trình chuyển động) cục bộ trong cấu hình hiện tại:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Viết lại tích phân trong cấu hình tham chiếu bằng công thức Nanson và \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) cho dạng cục bộ trong cấu hình tham chiếu:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Hai dạng tương đương nhau thông qua quy tắc biến đổi ứng suất và \(\rho_0 = J\rho\). Bỏ qua hạng quán tính ta được

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

đây là phương trình cân bằng tĩnh và là điểm xuất phát cho phân tích tĩnh của FrontISTR (tuyến tính và phi tuyến).

Bảo toàn mômen động lượng và tính đối xứng của ứng suất¶

Kết hợp bảo toàn mômen động lượng (định luật chuyển động thứ hai của Euler) với phương trình cân bằng từ bảo toàn động lượng tuyến tính cho tính đối xứng của tensor ứng suất Cauchy:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Do đó nó có sáu thành phần độc lập trong ba chiều. Lấy chuyển vị hai vế của phép biến đổi \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) và dùng tính không suy biến của \(\boldsymbol{F}\) cho thấy ứng suất PK thứ hai cũng đối xứng:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

và vì vậy cũng có sáu thành phần độc lập. Ngược lại, ứng suất PK thứ nhất \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) nói chung không đối xứng; chỉ có quan hệ \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) đúng (nghĩa là \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) đối xứng), và nó có chín thành phần độc lập.

Các tính đối xứng này là cơ sở để biểu diễn ứng suất dưới dạng vectơ sáu thành phần theo ký hiệu Voigt. Xem Ký hiệu tensor và cơ sở toán học và Đàn hồi tuyến tính để biết quy ước ký hiệu Voigt và cách xây dựng ma trận vật liệu.