Bỏ qua

Công ảo ngoại lực và lắp ráp phương trình tổng thể

Trong rời rạc hóa công ảo nội lực, vế trái của dạng yếu đã được quy về vectơ nội lực phần tử \(\boldsymbol{q}^e\) (phương pháp UL) hoặc \(\boldsymbol{Q}^e\) (phương pháp TL). Chương này đưa vào vectơ ngoại lực nút phần tử \(\boldsymbol{F}^e\) từ công ảo ngoại lực, rồi thông qua thao tác lắp ráp để sắp xếp lại và cộng dồn các đại lượng vật lý tại nút phần tử theo số nút toàn cục, từ đó đi đến hệ phương trình phi tuyến theo chuyển vị nút mà phân tích kết cấu phi tuyến của FrontISTR phải giải.

Phân rã công ảo ngoại lực theo phần tử

Vế phải của nguyên lý công ảo có thể được phân rã theo từng phần tử thành công ảo ngoại lực gồm lực thể tích (lực khối) và lực mặt quy định trên biên cơ học. Để viết phép nội suy chuyển vị được đưa vào trong hàm dạng và xấp xỉ phần tử hữu hạn dưới dạng ma trận, dùng khối \(d \times d\) \(\boldsymbol{N}_\alpha\) có hàm dạng \(N_\alpha^e\) của nút \(\alpha\) trên đường chéo, và \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) ghép các khối đó theo hàng ngang, sao cho \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Thay biểu thức này vào công ảo ngoại lực viết trong cấu hình tham chiếu, ta được

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

Ở đây, vectơ ngoại lực nút phần tử được sắp thành \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Nhờ đó, công ảo ngoại lực được gom về cùng dạng “vectơ nút phần tử × hàm thử” như phía nội lực (nếu viết trong cấu hình hiện tại thì vẫn có cùng dạng khi thay \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Lắp ráp các đại lượng vật lý tại nút phần tử

Các đại lượng tại nút \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) thu được cho từng phần tử được sắp xếp lại theo số nút toàn cục và cộng dồn vào vectơ toàn cục. Gọi số nút toàn cục tương ứng với số nút cục bộ \(\alpha\) của phần tử \(\Omega^e\) là

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

thì đại lượng vật lý tại nút phần tử trùng với thành phần tương ứng của đại lượng vật lý tại nút toàn cục (ví dụ \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Vì một nút \(i_g\) nói chung được nhiều phần tử dùng chung, ta đưa vào tập hợp các cặp \((e, \alpha)\) có số nút toàn cục bằng \(i_g\):

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Dùng tập hợp này để viết lại tổng \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), ta thu được nội lực nút và vectơ nội lực toàn cục trên toàn bộ \(n_g\) nút:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

\(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) tương ứng với hợp lực của các nội lực tại nút phần tử tác dụng lên nút \(i_g\); nếu không có ngoại lực và hệ ở trạng thái cân bằng thì đại lượng này bằng \(\boldsymbol{0}\). Trong phương pháp UL, \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) cũng thu được theo cùng thủ tục và về giá trị có \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), nên từ đây thống nhất dùng \(\boldsymbol{Q}\) trừ khi cần phân biệt. Vectơ ngoại lực toàn cục \(\boldsymbol{F}\) cũng được thu bằng cùng cách cộng dồn.

Trong triển khai, không tạo tường minh tập hợp \(\mathcal{E}(i_g)\) mà cộng trực tiếp vào thành phần tương ứng trong vòng lặp phần tử.

Khởi tạo vectơ nội lực toàn cục Q bằng 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (số phần tử)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Vectơ ngoại lực toàn cục \(\boldsymbol{F}\) cũng được xây dựng theo cùng thủ tục. Thao tác cộng các đại lượng tại nút phần tử và lưu chúng vào vectơ hoặc ma trận được đánh số theo nút toàn cục được gọi là lắp ráp (assemble). Đối với tensor bậc hai theo hai số nút (chẳng hạn ma trận độ cứng), có thể thực hiện phép lắp ráp tương tự bằng tập \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (về cách xây dựng cụ thể, xem Ma trận độ cứng tiếp tuyến).

Phương trình phi tuyến cần giải

Thay kết quả lắp ráp nội lực và ngoại lực vào nguyên lý công ảo, và vì biểu thức phải đúng với mọi hàm thử \(\delta\boldsymbol{u}^n\) thỏa điều kiện biên hình học, ta được

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

Trong ngữ cảnh phân tích gia tăng (khuôn khổ phân tích gia tăng), khôi phục chỉ số thời gian \(_{n+1}\) và bỏ chỉ số trên \(^n\) biểu thị vectơ nút toàn cục, phương trình cần giải là

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Bài toán giá trị biên đã rời rạc hóa để tìm chuyển vị nút \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) tại thời điểm \(t_{n+1}\) quy về việc giải phương trình phi tuyến theo chuyển vị này cùng với các điều kiện biên hình học. Về tuyến tính hóa phương trình và xây dựng ma trận độ cứng tiếp tuyến, xem Ma trận độ cứng tiếp tuyến; về phương pháp lặp, xem Phương pháp Newton-Raphson.

Các mục liên quan

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status