Bỏ qua

Phân tích đáp ứng tần số

Thiết lập bài toán

Phân tích đáp ứng tần số đánh giá biên độ và pha đáp ứng ở trạng thái xác lập của hệ trong miền tần số khi ngoại lực biến thiên điều hòa theo thời gian. Vì phương trình chuyển động chi phối được xử lý khác nhau tùy có hay không có cản, chương này trước hết suy ra các dạng dao động riêng từ dao động tự do không cản, sau đó dùng chúng làm cơ sở modal để khai triển đáp ứng điều hòa có cản.

Dao động tự do không cản và các dạng dao động riêng

Khi bỏ qua cản, phương trình chuyển động là

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Khai triển chuyển vị theo từng dạng dao động riêng ta có

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Thay biểu thức này vào Phương trình \(\eqref{eq:2.6.1}\) ta được

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Đây là một bài toán trị riêng tổng quát. Các phương pháp giải số cho bài toán này, bao gồm lặp nghịch đảo có dịch chuyển và phương pháp Lanczos, được trình bày trong Phân tích dao động riêng. Phần này tóm tắt các tính chất của tần số riêng và dạng dao động riêng thu được, dùng cho khai triển đáp ứng điều hòa ở phần sau.

Tính thực của tần số riêng

Tần số riêng có thể được chứng minh là số thực như sau. Đặt \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Lấy liên hợp phức của Phương trình \(\eqref{eq:2.6.3}\) ta được Phương trình \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Nhân với \(\overline{U}_J^T\) ta được

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Từ Phương trình \(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Vì ma trận khối lượng đối xứng xác định dương, với một vectơ riêng khác không ta có

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Do đó,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Vì vậy, \(\omega_j^2 = \lambda_j\) là số thực.

Tính trực giao và chuẩn hóa của các dạng dao động riêng

Xét hai dạng dao động khác nhau.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Suy ra

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

và khi các trị riêng khác nhau,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Do đó, các dạng dao động riêng khác nhau trực giao theo ma trận khối lượng. Đối với cùng một dạng dao động, chuẩn hóa theo ma trận khối lượng như trong Phương trình \(\eqref{eq:2.6.12}\) giúp việc xử lý tiếp theo đơn giản hơn.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Đáp ứng điều hòa có cản

Tiếp theo trình bày công thức của phân tích đáp ứng tần số có cản. Phương trình chuyển động chi phối được cho bởi Phương trình \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Thành phần cản được giả sử thuộc loại Rayleigh và được biểu diễn bởi Phương trình \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Sử dụng các vectơ riêng thu được từ phân tích dao động riêng, vectơ chuyển vị tại thời điểm t có thể được khai triển như Phương trình \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Giả sử thành phần ngoại lực có dạng điều hòa

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Sau đó ta xác định \(b_{j}(t)\). Vì phương trình chuyển động trong Phương trình \(\eqref{eq:2.6.13}\) có dạng dao động cưỡng bức,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

được thỏa mãn. Phần thực và phần ảo của hệ số khai triển \(b_{j}(t)\) lần lượt được cho bởi các Phương trình \(\eqref{eq:2.6.18}i\) và \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Như vậy thu được các hệ số đáp ứng điều hòa cần tìm.

Chủ đề liên quan

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status