Bỏ qua

Ký hiệu tensor và cơ sở toán học

Chương này tổng hợp các quy ước về ký hiệu tensor, ký hiệu chỉ số và ký hiệu Voigt được sử dụng trong các chương sau của Sổ tay lý thuyết FrontISTR. Ở đây chỉ mô tả các quy tắc ký hiệu thuần túy không phụ thuộc vào định nghĩa của các đại lượng vật lý. Các quy ước ký hiệu phụ thuộc vào cấu hình gắn với chuyển động liên tục (cấu hình tham chiếu/hiện tại), chẳng hạn sự phân biệt chữ hoa và chữ thường cũng như đạo hàm vật chất và đạo hàm không gian, được trình bày trong Chuyển động, biến dạng và độ biến dạng, nơi khái niệm cấu hình được giới thiệu.

Ký hiệu tensor

Ký hiệu vectơ và tensor in đậm

Theo quy ước kiểu chữ, các đại lượng vô hướng và các thành phần của vectơ và tensor được viết bằng kiểu chữ thường (chẳng hạn \(\rho\) và \(x_i\)), còn bản thân các đại lượng vectơ và tensor được viết in đậm (chẳng hạn \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) và \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Quy ước tổng Einstein

Trừ khi có quy định khác, sử dụng quy ước tổng Einstein: khi cùng một chỉ số xuất hiện hai lần trong cùng một hạng tử, thực hiện phép tổng theo chỉ số đó. Ví dụ,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

và thành phần \(i,j\) của tích \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) của các tensor \(\boldsymbol{A}\) và \(\boldsymbol{B}\) là

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Theo quy ước chỉ số, khi \(i, j, k, l, \ldots\) được dùng làm chỉ số mà không có quy định bổ sung, chúng biểu thị các chỉ số gắn với bậc tự do (\(1, 2, 3\) trong ba chiều), còn các chữ cái Hy Lạp viết thường \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) dùng làm chỉ số biểu thị các chỉ số gắn với các nút cấu thành phần tử.

Tích trong, chuyển vị và tích tensor

Chuyển vị của tensor \(\boldsymbol{A}\) được ký hiệu là \(\boldsymbol{A}^T\). Tích trong (co kép) của các tensor bậc hai \(\boldsymbol{A}\) và \(\boldsymbol{B}\) được viết là

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Tích trong của các vectơ \(\boldsymbol{a}\) và \(\boldsymbol{b}\) là \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), và tích tensor của chúng là \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Ký hiệu Voigt

Ứng suất và biến dạng là các tensor bậc hai đối xứng theo các bậc tự do, còn các hệ số biểu diễn quan hệ tuyến tính giữa chúng tạo thành tensor bậc bốn. Xử lý trực tiếp các đại lượng này trong chương trình gây bất lợi về chi phí tính toán và lập trình (mảng nhiều chiều và vòng lặp lồng sâu). Vì vậy, các chương trình phần tử hữu hạn nói chung khai thác tính đối xứng và nén ứng suất và biến dạng thành vectơ cột và tensor đàn hồi bậc bốn thành ma trận hai chiều. Cách biểu diễn này gọi là ký hiệu Voigt.

Từ đây trở đi, biểu diễn ma trận hoặc vectơ của một đại lượng tensor \(\boldsymbol{A}\) được ký hiệu bằng \(\hat{A}\) để phân biệt với tensor gốc.

Biểu diễn vectơ của ứng suất và biến dạng

Đối với tensor ứng suất đối xứng \(\boldsymbol{\sigma}\) và tensor biến dạng \(\boldsymbol{\varepsilon}\), trong hai chiều,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

trong ba chiều,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

chúng được xử lý dưới dạng vectơ cột như trên. Quy tắc tương tự áp dụng cho các đại lượng suy ra như biến phân và vi phân. Lưu ý rằng các thành phần biến dạng trượt có hệ số 2 (phía ứng suất không có). Do sự bất đối xứng này, tích trong tensor có thể được viết gọn thành tích trong vectơ

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Trong triển khai, hệ số 2 ở các thành phần biến dạng trượt rất dễ bị xử lý sai, vì vậy luôn phải ghi nhớ quy ước "không có đối với ứng suất / có đối với biến dạng". Chính quy ước Voigt này cũng được áp dụng cho các đại lượng trong cấu hình tham chiếu (ứng suất Piola-Kirchhoff bậc hai \(\boldsymbol{S}\) và biến dạng Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\)).

Biểu diễn ma trận của tensor bậc bốn

Đối với quan hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng, \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (dạng thành phần, \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), sử dụng tính đối xứng của \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ta được

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Trong ba chiều, sắp xếp \(\tilde{C}\) thành ma trận vật liệu 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\) cho phép biểu diễn quan hệ tensor ban đầu thành

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Từ đây trở đi trong sổ tay này, trừ khi có quy định khác, ma trận vật liệu được ký hiệu là \(D\) (hoặc \(\hat{C}\)). Để xem các thành phần cụ thể của đàn hồi tuyến tính đẳng hướng, xem Đàn hồi tuyến tính.

Quy ước toán tử vi phân

Toán tử gradient đối xứng

Toán tử gradient đối xứng \(\nabla_S\) cho trường vectơ \(\boldsymbol{u}\) được định nghĩa là

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Ở dạng thành phần, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Biến dạng biến dạng nhỏ \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) có thể được biểu diễn gọn bằng toán tử này. Sự phân biệt giữa các cấu hình (tham chiếu/hiện tại) mà gradient được lấy theo trong biến dạng hữu hạn được trình bày trong Chuyển động, biến dạng và độ biến dạng.

Đạo hàm vật chất theo thời gian

Đạo hàm vật chất theo thời gian của một đại lượng \(A\) (đạo hàm theo thời gian khi đi theo cùng một điểm vật chất) được ký hiệu bằng dấu chấm phía trên, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Vận tốc và gia tốc tuân theo quy ước này.

Chủ đề liên quan

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status