Bỏ qua

Rời rạc hóa công ảo nội lực

Phương trình công ảo tại thời điểm \(t + \Delta t\) được trình bày trong Khung phân tích gia số có hai dạng, công thức Updated Lagrange và Total Lagrange, tùy theo lựa chọn cấu hình tham chiếu. Trong chương này, xấp xỉ phần tử hữu hạn được giới thiệu trong Hàm dạng và xấp xỉ phần tử hữu hạn và Đạo hàm không gian của hàm dạng được dùng để rời rạc hóa theo không gian công ảo nội lực của cả hai công thức và thu được các vectơ nội lực phần tử \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) và \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Đối với phần tử \(e\), gọi các nút cấu thành là \(\alpha = 1, \ldots, n_e\); chuyển vị là \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), và sắp xếp vectơ chuyển vị nút phần tử thành \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Chuyển vị ảo \(\delta \boldsymbol{u}^e\) được định nghĩa theo cùng thứ tự. Chuyển vị trong phần tử được nội suy bởi các hàm dạng theo \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Công ảo nội lực trong công thức Updated Lagrange

Trong công thức Updated Lagrange, tại thời điểm \(t\), cấu hình hiện tại \({}^{t}\Omega\) được dùng làm cấu hình tham chiếu, và công ảo nội lực được viết theo ứng suất Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) và phần tuyến tính của biến dạng Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) như sau

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Mỗi thành phần của \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) có thể được biểu diễn, bằng tọa độ cấu hình hiện tại \(\boldsymbol{x}\), như tổ hợp tuyến tính của các đạo hàm hàm dạng \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) và các chuyển vị ảo nút \(\delta u^e_{i\alpha}\). Theo ký hiệu Voigt, có thể gom lại thành

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Khối nút \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) được tạo bằng cách sắp xếp \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) theo quy ước Voigt thành ma trận \(6 \times 3\), và \(\boldsymbol{B}_L\) là ma trận biến dạng-chuyển vị của công thức UL. Thay vào công ảo nội lực và đưa \(\delta \boldsymbol{u}^e\) ra ngoài ta được

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Đối với \(\boldsymbol{q}^e\), khối nút \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) là nội lực của phần tử \(\Omega^e\) tác dụng lên nút cấu thành \(\alpha\).

Công ảo nội lực trong công thức Total Lagrange

Trong công thức Total Lagrange, cấu hình ban đầu \(\Omega_0\) được dùng làm cấu hình tham chiếu, và công ảo nội lực được viết theo ứng suất Piola-Kirchhoff thứ hai \(\boldsymbol{S}\) và biến dạng Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) như sau

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Biến phân \(\delta \boldsymbol{E}\) được tách thành một hạng tuyến tính theo chuyển vị ảo và một hạng phi tuyến chứa tích với gradient chuyển vị hiện tại \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Hạng tuyến tính có thể được viết bằng cách áp dụng cùng quy tắc sắp xếp như trong công thức UL cho \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), cho khối nút \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Chỉ các đạo hàm cấu thành thay đổi từ \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) sang \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) do cấu hình tham chiếu khác nhau; ký hiệu giống công thức UL vẫn được dùng. Hạng phi tuyến sử dụng tích của gradient chuyển vị hiện tại \(\partial u_k/\partial X_j\) và \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), được sắp xếp theo quy ước Voigt để tạo thành khối nút \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Do đó, \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), và \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) là ma trận biến dạng-chuyển vị của công thức TL. Thay vào công ảo nội lực ta được

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Khối nút \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) là nội lực của phần tử \(\Omega^e_0\) tác dụng lên nút cấu thành \(\alpha\).

Quan hệ tương ứng UL/TL và luồng tính toán

Các vectơ nội lực phần tử trong công thức Updated Lagrange và Total Lagrange tương ứng như sau.

Hạng mục Công thức Updated Lagrange Công thức Total Lagrange
Cấu hình tham chiếu Cấu hình hiện tại \({}^{t}\Omega^e\) Cấu hình ban đầu \(\Omega^e_0\)
Tensor ứng suất Ứng suất Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) Ứng suất PK thứ hai \(\boldsymbol{S}\)
Biến phân biến dạng \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Ma trận B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Nội lực phần tử \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Cả hai được xử lý theo cùng một quy trình: xây dựng \(\boldsymbol{B}_L\) từ các đạo hàm không gian của hàm dạng; trong công thức TL, xây dựng và cộng \(\boldsymbol{B}_{NL}\) từ gradient chuyển vị hiện tại; cập nhật ứng suất (\(\boldsymbol{\sigma}\) hoặc \(\boldsymbol{S}\)) theo định luật cấu thành; và tích phân số \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) hoặc \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) trên miền phần tử tại các điểm tích phân (Tích phân số). Ngoại trừ việc chuyển đổi cấu hình tham chiếu (tọa độ nút và cách xây dựng ma trận \(\boldsymbol{B}\)) và thay tensor ứng suất, quá trình xử lý là chung, nên FrontISTR cài đặt tính nội lực cho cả hai công thức bằng các chương trình con dùng chung. Việc lắp ráp các vectơ nội lực phần tử \(\boldsymbol{q}^e\) và \(\boldsymbol{Q}^e\) vào vectơ nội lực toàn cục được trình bày trong Công ảo ngoại lực và lắp ráp các phương trình toàn cục.

Chủ đề liên quan

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status