Bỏ qua

Phương pháp phân tích động lực học

Phần này mô tả các phương pháp phân tích cho bài toán động lực học sử dụng tích phân trực tiếp theo thời gian. Công thức của phương pháp ẩn và phương pháp tường minh được trình bày dưới đây.

Rời rạc hóa phương trình chuyển động (khung chung)

TBD (sẽ được hoàn thiện trong giai đoạn tiếp theo).

Phương pháp ẩn (phương pháp Newmark-β)

Đối với bài toán động lực học, phương pháp tích phân trực tiếp theo thời gian được áp dụng để giải phương trình chuyển động dưới đây.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Ở đây, \(M\) là ma trận khối lượng, \(C\) là ma trận cản, \(Q\) là vectơ nội lực và \(F\) là vectơ ngoại lực. Ma trận khối lượng được giả định là không đổi bất kể biến dạng, ngay cả trong phân tích phi tuyến.

Sự thay đổi của chuyển vị, vận tốc và gia tốc trong gia số thời gian \(\Delta t\) được xấp xỉ bằng phương pháp Newmark-\(\beta\) như trong phương trình \(\eqref{eq:2.5.2}\) và phương trình \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Ở đây, \(\gamma\) và \(\beta\) là các tham số của phương pháp Newmark-\(\beta\).

Như đã biết, các giá trị sau của \(\gamma\) và \(\beta\) lần lượt tương ứng với phương pháp gia tốc tuyến tính và quy tắc hình thang.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (phương pháp gia tốc tuyến tính)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (quy tắc hình thang)

Thay phương trình \(\eqref{eq:2.5.2}\) và phương trình \(\eqref{eq:2.5.3}\) vào phương trình \(\eqref{eq:2.5.1}\) thu được phương trình sau.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Đặc biệt, đối với bài toán tuyến tính, \(K_L\) là ma trận độ cứng tuyến tính và \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Thay quan hệ này vào phương trình trên thu được phương trình sau.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Tại các vị trí mà gia tốc được chỉ định như một điều kiện biên hình học, chuyển vị được suy ra từ phương trình \(\eqref{eq:2.5.2}\) như sau.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Tương tự, tại các vị trí mà vận tốc được chỉ định, chuyển vị được suy ra từ phương trình \(\eqref{eq:2.5.6}\) như sau.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Ở đây, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) là chuyển vị nút tại thời điểm \(t+\Delta{t}\), và \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) là vận tốc nút tại thời điểm \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) là gia tốc nút tại thời điểm \(t+\Delta{t}\), \(i\) là số bậc tự do của nút và \(s\) là số nút. Các hạng tử khối lượng và cản được xử lý như sau.

Xử lý hạng tử khối lượng

Về nguyên tắc, ma trận khối lượng được xử lý dưới dạng ma trận khối lượng tập trung.

Xử lý hạng tử cản

Hạng tử cản được xử lý theo cản Rayleigh biểu diễn bởi phương trình \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Ở đây, \(R_m\) và \(R_k\) là các tham số cản Rayleigh.

Các giá trị \(R_m\) và \(R_k\) được chỉ định trên thẻ !DYNAMIC được áp dụng đồng đều cho toàn bộ mô hình. Để gán các giá trị \(R_m\) và \(R_k\) khác nhau cho từng vật liệu, hãy chỉ định trong khối !MATERIAL của vật liệu đó thẻ !DAMPING. Đối với các phần tử thuộc vật liệu có chỉ định !DAMPING, ma trận cản phần tử được tính là \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) từ ma trận khối lượng phần tử \(M_i\) và ma trận độ cứng tiếp tuyến \(K_i\), rồi được lắp ráp vào ma trận cản toàn cục. Chức năng này chỉ có hiệu lực với phương pháp ẩn.

Phương pháp tường minh (phương pháp sai phân trung tâm)

Phương pháp tường minh dựa trên phương trình chuyển động tại thời điểm t như dưới đây.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Biểu diễn chuyển vị tại các thời điểm \(t + \Delta t\) và \(t - \Delta t\) bằng khai triển Taylor quanh thời điểm \(t\) và giữ các hạng đến bậc hai theo \(\Delta t\) cho các phương trình sau.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Lấy hiệu và tổng của phương trình \(\eqref{eq:2.5.3}\) và phương trình \(\eqref{eq:2.5.4}\) thu được các phương trình sau.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Thay phương trình \(\eqref{eq:2.5.12}\) và phương trình \(\eqref{eq:2.5.13}\) vào phương trình \(\eqref{eq:2.5.9}\) thu được phương trình sau.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Đặc biệt, đối với bài toán tuyến tính, \(Q(t) = K_L U(t)\), và phương trình trên trở thành

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Nếu ma trận khối lượng \(M\) được lấy là ma trận khối lượng tập trung và ma trận cản là ma trận cản tỷ lệ \(C = R_m M\), phương trình \(\eqref{eq:2.5.15}\) không cần giải hệ phương trình đồng thời.

Do đó, từ phương trình \(\eqref{eq:2.5.15}\), có thể xác định \(U(t+\Delta t)\) bằng phương trình sau.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Chủ đề liên quan

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status