Bỏ qua

Hàm dạng cho phần tử khối 3D

Chương này tóm tắt các hệ tọa độ tự nhiên và dạng tường minh của các hàm dạng \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) được giới thiệu trong Hàm dạng và xấp xỉ phần tử hữu hạn cho các phần tử khối ba chiều mà FrontISTR sử dụng trong phân tích môi trường liên tục. Sáu loại phần tử gồm tứ diện bậc nhất/bậc hai (341/342), lăng trụ tam giác bậc nhất/bậc hai (351/352) và lục diện bậc nhất/bậc hai (361/362). Xem Thư viện phần tử trong tài liệu tham khảo chức năng để biết thứ tự nút và số hiệu mặt theo định dạng lưới HEC-MW.

Quy trình xây dựng tích phân phần tử từ các hàm dạng này và định thức Jacobian được trình bày trong Tích phân số. Các công thức B-bar, F-bar và không tương thích cho 361, cùng với hàm dạng cho phần tử dầm và vỏ, được trình bày trong Các công thức phần tử nâng cao.

Hệ tọa độ tự nhiên và thứ tự nút nội bộ

Các hàm dạng được định nghĩa trên tọa độ tự nhiên \(\boldsymbol{r}\) của từng phần tử. Các phần tử khối ba chiều sử dụng ba hệ tọa độ tự nhiên sau tùy theo hình dạng phần tử.

  • Lục diện (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tứ diện (341/342): tọa độ thể tích \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), với \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) và \(L_i \ge 0\). Chọn \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) làm các biến độc lập thì \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Lăng trụ tam giác (351/352): kết hợp tọa độ thể tích \((\xi, \eta)\) của tam giác đáy (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) với tọa độ dọc trục \(\zeta \in [-1, 1]\) để tạo thành \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Đại lượng phụ \(a = 1 - \xi - \eta\) được dùng làm tọa độ thể tích thứ ba trên mặt đáy.

Đối với phần tử bậc nhất, cách đánh số nút phần tử giống nhau giữa định dạng đầu vào HEC-MW và định dạng nội bộ. Đối với phần tử bậc hai, quy ước sắp xếp các nút giữa cạnh khác nhau. FrontISTR nhận định dạng HEC-MW làm đầu vào (các nút góc được liệt kê quanh phần tử, sau đó là các nút giữa cạnh theo thứ tự cạnh 1-2, 2-3, …), trong khi các hàm dạng trong thư viện phần tử được cài đặt với một thứ tự nút khác.

Sự khác biệt giữa hai định dạng được xử lý bởi hecmw2fstr_mesh_conv, được gọi ngay sau khi đọc lưới, để sắp xếp lại các nút của từng phần tử. Trong các phần tử khối ba chiều, hai loại sau được chuyển đổi.

Loại phần tử Bảng chuyển đổi Mô tả
342 (tứ diện bậc hai) Table342 Sắp xếp lại 10 nút thành \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (lăng trụ tam giác bậc hai) Table352 Sắp xếp lại 15 nút thành \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Vì việc sắp xếp lại được thực hiện trực tiếp trên mảng lưu liên kết phần tử, mọi lời gọi thư viện phần tử sau đó đều dùng thứ tự nút nội bộ của FrontISTR. Với phần tử lục diện bậc hai 362, không có bảng chuyển đổi vì thứ tự nút giữa cạnh trong đầu vào HEC-MW và định dạng nội bộ FrontISTR là như nhau. Khi xuất kết quả, phép chuyển đổi ngược fstr2hecmw_mesh_conv khôi phục thứ tự nút HEC-MW trước khi ghi, nên người dùng chỉ cần quan tâm đến định dạng HEC-MW cho cả đầu vào và đầu ra. Số nút trong các hàm dạng dưới đây dùng định dạng nội bộ FrontISTR sau chuyển đổi.

Hàm dạng cho phần tử bậc nhất

Đối với phần tử tứ diện bậc nhất (341), các hàm dạng chính là các tọa độ thể tích:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Đối với phần tử lăng trụ tam giác bậc nhất (351), các hàm dạng là tích của các hàm dạng tuyến tính của tam giác đáy (\(a, \xi, \eta\)) và các hàm dạng tuyến tính theo trục (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Đối với phần tử lục diện bậc nhất (361), các hàm dạng là tích tensor của các hàm dạng tuyến tính theo ba phương tọa độ:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Ở đây \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) là các giá trị tọa độ tự nhiên của nút \(\alpha\) (mỗi thành phần bằng \(\pm 1\)).

Hàm dạng cho phần tử bậc hai

Đối với phần tử tứ diện bậc hai (342), các hàm dạng được chia thành bốn nút góc và sáu nút giữa cạnh:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Các nút giữa cạnh 5–10 lần lượt tương ứng với trung điểm các cạnh 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 và 3-4.

Phần tử lăng trụ tam giác bậc hai (352) gồm sáu nút góc, sáu nút giữa cạnh trên các mặt tam giác và ba nút giữa cạnh trên các cạnh dọc trục:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Các nút giữa cạnh 7–9 tương ứng với trung điểm cạnh của tam giác đáy (\(\zeta = -1\)), các nút 10–12 với trung điểm cạnh của tam giác trên (\(\zeta = +1\)), và các nút 13–15 với trung điểm của các cạnh dọc trục.

Phần tử lục diện bậc hai (362) là phần tử 20 nút thuộc họ Serendipity. Gọi các giá trị tọa độ tự nhiên của nút \(\alpha\) là \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Đối với các nút góc (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), mỗi thành phần bằng \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Đối với các nút giữa cạnh (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), trong đó một trong ba tọa độ tự nhiên bằng \(0\) và hai tọa độ còn lại bằng \(\pm 1\)), các nút có \(\xi_\alpha = 0\) (các cạnh định hướng theo phương \(\xi\)) có

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Các nút giữa cạnh có phương cạnh theo trục \(\eta\) hoặc \(\zeta\) được cho tương tự, với tọa độ tự nhiên tương ứng bị loại bởi hạng bình phương.

Chủ đề liên quan

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status