Bỏ qua

Nguyên lý công ảo

Dựa trên phương trình cân bằng và các điều kiện biên được suy ra trong Ứng suất và các định luật bảo toàn, ta suy ra nguyên lý công ảo, là dạng yếu của bài toán giá trị biên trong cơ học môi trường liên tục. Rời rạc hóa phần tử hữu hạn bắt đầu từ dạng yếu này. Chương này trình bày cả dạng trong cấu hình hiện tại (biểu diễn bằng ứng suất Cauchy và phần tuyến tính của biến dạng Almansi) và dạng trong cấu hình tham chiếu (biểu diễn bằng ứng suất Piola-Kirchhoff thứ hai và biến dạng Green-Lagrange), chứng minh tính tương đương của chúng, rồi xác nhận phép rút gọn về biến dạng nhỏ.

Phương trình cân bằng và điều kiện biên

Gọi \(\boldsymbol{g}\) là lực khối tác dụng lên môi trường liên tục trên một đơn vị khối lượng, và xét một vật thể chiếm miền \(\Omega\) trong cấu hình hiện tại. Biên \(\Gamma\) được chia thành biên hình học, nơi chuyển vị được chỉ định là \(\bar{\boldsymbol{u}}\), \(\Gamma_B\), và biên cơ học, nơi lực bề mặt được chỉ định là \(\bar{\boldsymbol{t}}\), \(\Gamma_t\), với \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) và \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Đối với bài toán tĩnh, phương trình cân bằng thu được bằng cách bỏ hạng quán tính khỏi định luật bảo toàn động lượng trình bày trong Ứng suất và các định luật bảo toàn:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{trong} \ \Omega \]

Các điều kiện biên là

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{trên} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{trên} \ \Gamma_B \]

Sau đây, nguyên lý công ảo được suy ra như dạng yếu của phương trình cân bằng và điều kiện biên cơ học \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Điều kiện biên hình học \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) được đưa vào thông qua lựa chọn hàm thử.

Dạng yếu trong cấu hình hiện tại

Trong dạng yếu, định nghĩa lần lượt không gian chấp nhận được cho chuyển vị ẩn và không gian hàm thử là

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{trên} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{trên} \ \Gamma_B \} \]

Ở đây, \(d\) là số chiều không gian, \(H^1(\Omega)\) là không gian Sobolev của các hàm khả tích bình phương cùng với các đạo hàm yếu bậc nhất của chúng, và \(\delta\) biểu thị biến phân. Trong biểu diễn cấu hình hiện tại, \(\Omega\) là cấu hình đã biến dạng; trong lời giải số thực tế, nó được biến đổi về cấu hình tham chiếu hoặc một cấu hình trung gian đã biết.

Nhân phương trình cân bằng với hàm trọng số \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) và áp dụng định lý phân kỳ Gauss cùng điều kiện biên cơ học, thu được nguyên lý công ảo sau trong cấu hình hiện tại.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Ở đây, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) là phần tuyến tính của tensor biến dạng Almansi, được định nghĩa bởi

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Biến phân của nó là \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Do đó, ta tìm \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) sao cho phương trình công ảo được thỏa mãn với mọi \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Vế trái là công ảo của nội lực, còn vế phải là công ảo của ngoại lực do lực bề mặt chỉ định và lực khối.

Vì phương trình này được viết trên miền đã biến dạng (cấu hình hiện tại), quy trình giải thực tế chọn lại cấu hình ban đầu \(\Omega_0\) (cấu hình tham chiếu) hoặc một cấu hình trung gian đã biết làm cấu hình tham chiếu, viết lại phương trình ở dạng gia lượng rồi giải. Xem Khuôn khổ phân tích gia lượng để biết cách chọn cụ thể cấu hình tham chiếu (Lagrange toàn phần / Lagrange cập nhật) và phân rã gia lượng.

Dạng yếu trong cấu hình ban đầu

Xét một vật thể chiếm miền \(\Omega_0\) trong cấu hình tham chiếu, với biên \(\Gamma_0\) được chia thành \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Khi biến đổi biểu diễn cấu hình hiện tại về cấu hình tham chiếu, ta thu được cặp liên hợp ứng suất-biến dạng gồm ứng suất Piola-Kirchhoff thứ hai \(\boldsymbol{S}\) và biến dạng Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\). Khi đó nguyên lý công ảo trong cấu hình ban đầu là

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Ở đây, \(\rho_0\) là khối lượng riêng trong cấu hình tham chiếu, và theo quan hệ bảo toàn khối lượng \(\rho_0 = J\rho\), biểu diễn này tương đương với biểu diễn lực khối trong cấu hình hiện tại.

Tính tương đương giữa biểu diễn cấu hình hiện tại và cấu hình ban đầu

Công ảo của nội lực trong hai biểu diễn trùng nhau thông qua phép biến đổi bằng gradient biến dạng \(\boldsymbol{F}\) và tỷ số thể tích \(J = \det \boldsymbol{F}\); cụ thể là

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Các hạng ngoại lực cũng tương đương nhờ bảo toàn khối lượng và phép biến đổi lực bề mặt. Vì vậy, phương trình công ảo trong cấu hình hiện tại và phương trình trong cấu hình ban đầu biểu diễn cùng một nguyên lý trong các cấu hình khác nhau. Phương pháp giải tham chiếu tới cấu hình tham chiếu tương ứng với phương pháp Lagrange toàn phần, còn phương pháp giải tham chiếu tới cấu hình hiện tại (cấu hình hội tụ ngay trước đó) tương ứng với phương pháp Lagrange cập nhật.

Rút gọn về biến dạng nhỏ

Dưới các giả thiết biến dạng nhỏ \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) và \(J \approx 1\), sự phân biệt giữa cấu hình hiện tại và cấu hình tham chiếu biến mất, ứng suất PK thứ hai trùng với ứng suất Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), và cả biến dạng Green-Lagrange lẫn phần tuyến tính của biến dạng Almansi đều rút gọn về biến dạng vô cùng bé \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Khi đó nguyên lý công ảo rút gọn về dạng yếu được biểu diễn theo ứng suất Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) và biến dạng vô cùng bé \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{trên} \ \Gamma_B \]

Đây là dạng yếu được dùng trực tiếp cho rời rạc hóa trong phân tích tĩnh đàn hồi tuyến tính biến dạng nhỏ (Phân tích tĩnh đàn hồi tuyến tính (nhập môn và phụ lục) bắt đầu từ dạng này và trình bày việc xây dựng ma trận độ cứng phần tử \(\boldsymbol{K}^e\) thông qua lắp ráp phương trình toàn cục \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Thay quan hệ cấu thành đàn hồi tuyến tính \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) và viết \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) theo ký hiệu Voigt, dạng yếu trở thành

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

có dạng như trên.

Chủ đề liên quan

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status