Přeskočit obsah

Princip virtuální práce

Na základě rovnice rovnováhy a okrajových podmínek odvozených v části Napětí a zákony zachování odvodíme princip virtuální práce, který představuje slabou formulaci okrajové úlohy mechaniky kontinua. Diskretizace metodou konečných prvků vychází z této slabé formulace. Tato kapitola uvádí jak tvar v aktuální konfiguraci (vyjádřený pomocí Cauchyho napětí a lineární části Almansiho přetvoření), tak tvar v referenční konfiguraci (vyjádřený pomocí druhého Piolova-Kirchhoffova napětí a Greenova-Lagrangeova přetvoření), ukazuje jejich ekvivalenci a následně potvrzuje redukci na malé deformace.

Rovnice rovnováhy a okrajové podmínky

Nechť \(\boldsymbol{g}\) je objemová síla působící na kontinuum na jednotku hmotnosti a uvažujme těleso zaujímající v aktuální konfiguraci oblast \(\Omega\). Hranice \(\Gamma\) se rozděluje na geometrickou hranici \(\Gamma_B\), na níž je předepsáno posunutí \(\bar{\boldsymbol{u}}\), a mechanickou hranici \(\Gamma_t\), na níž je předepsána trakce \(\bar{\boldsymbol{t}}\), přičemž \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) a \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Pro statickou úlohu se rovnice rovnováhy získá vypuštěním setrvačného členu ze zákona zachování hybnosti uvedeného v části Napětí a zákony zachování:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{v} \ \Omega \]

Okrajové podmínky jsou

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{na} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{na} \ \Gamma_B \]

Dále se princip virtuální práce odvozuje jako slabá formulace rovnice rovnováhy a mechanické okrajové podmínky \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Geometrická okrajová podmínka \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) je zahrnuta volbou testovací funkce.

Slabá formulace v aktuální konfiguraci

Ve slabé formulaci definujme přípustný prostor neznámého posunutí a prostor testovacích funkcí následovně:

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{na} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{na} \ \Gamma_B \} \]

Zde \(d\) označuje prostorovou dimenzi, \(H^1(\Omega)\) je Sobolevův prostor funkcí, které jsou spolu se svými prvními slabými derivacemi kvadraticky integrovatelné, a \(\delta\) označuje variaci. V reprezentaci aktuální konfigurace je \(\Omega\) deformovaná konfigurace; při skutečném numerickém řešení se převádí zpět do referenční konfigurace nebo do známé mezilehlé konfigurace.

Vynásobením rovnice rovnováhy váhovou funkcí \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) a použitím Gaussovy věty o divergenci a mechanické okrajové podmínky získáme následující princip virtuální práce v aktuální konfiguraci.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Zde \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) je lineární část Almansiho tenzoru přetvoření, definovaná vztahem

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Její variace je \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Hledáme tedy \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) takové, aby rovnice virtuální práce byla splněna pro každé \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Levá strana představuje virtuální práci vnitřních sil, zatímco pravá strana představuje virtuální práci vnějších sil od předepsané trakce a objemové síly.

Protože je tato rovnice zapsána na deformované oblasti (v aktuální konfiguraci), skutečný postup řešení znovu zvolí jako referenční konfiguraci počáteční konfiguraci \(\Omega_0\) nebo známou mezilehlou konfiguraci, přepíše rovnici do přírůstkového tvaru a poté ji řeší. Konkrétní volbu referenční konfigurace (Total Lagrange / Updated Lagrange) a přírůstkový rozklad popisuje část Rámec přírůstkové analýzy.

Slabá formulace v počáteční konfiguraci

Uvažujme těleso zaujímající v referenční konfiguraci oblast \(\Omega_0\), jejíž hranice \(\Gamma_0\) je rozdělena na \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Zpětným převodem reprezentace aktuální konfigurace do referenční konfigurace získáme energeticky sdruženou dvojici druhého Piolova-Kirchhoffova napětí \(\boldsymbol{S}\) a Greenova-Lagrangeova přetvoření \(\boldsymbol{E}\). Princip virtuální práce v počáteční konfiguraci je pak

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Zde \(\rho_0\) je objemová hmotnost v referenční konfiguraci a podle vztahu zachování hmoty \(\rho_0 = J\rho\) je tento člen ekvivalentní vyjádření objemové síly v aktuální konfiguraci.

Ekvivalence reprezentací aktuální a počáteční konfigurace

Virtuální práce vnitřních sil se v obou reprezentacích shoduje díky transformaci pomocí gradientu deformace \(\boldsymbol{F}\) a objemového poměru \(J = \det \boldsymbol{F}\), tedy

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Členy vnějších sil jsou rovněž ekvivalentní díky zachování hmoty a transformaci trakce. Rovnice virtuální práce v aktuální konfiguraci a v počáteční konfiguraci tedy vyjadřují tentýž princip v různých konfiguracích. Metoda řešení vztahující se k referenční konfiguraci odpovídá metodě Total Lagrange, zatímco metoda řešení vztahující se k aktuální konfiguraci (bezprostředně předcházející zkonvergované konfiguraci) odpovídá metodě Updated Lagrange.

Redukce na malé deformace

Za předpokladů malých deformací \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) a \(J \approx 1\) mizí rozdíl mezi aktuální a referenční konfigurací, druhé PK napětí se shoduje s Cauchyho napětím (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)) a Greenovo-Lagrangeovo přetvoření i lineární část Almansiho přetvoření se redukují na infinitezimální přetvoření \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Princip virtuální práce se pak redukuje na slabou formulaci vyjádřenou pomocí Cauchyho napětí \(\boldsymbol{\sigma}\) a infinitezimálního přetvoření \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{na} \ \Gamma_B \]

Toto je slabá formulace používaná přímo pro diskretizaci v lineárně elastické statické analýze malých deformací (Lineární elastická statická analýza (úvod a příloha) z tohoto tvaru vychází a ukazuje konstrukci tuhosti prvku \(\boldsymbol{K}^e\) sestavením globální rovnice \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Dosazením lineárně elastického konstitutivního zákona \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) a zápisem \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ve Voigtově notaci získáme slabou formulaci

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

která má tento tvar.

Související témata

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status