Přeskočit obsah

Lineární elasticita

Tato kapitola popisuje konstitutivní zákon (Hookeův zákon) pro lineárně elastické materiály. Podrobnosti o volbě modelu a specifikaci vstupu viz část funkcí 03_material.

Jev (lineární elastická odezva)

Lineárně elastické těleso je materiál, který v oblasti, kde je přetvoření při zatížení dostatečně malé, vykazuje lineární vztah mezi napětím a přetvořením a vratnou odezvu nezávislou na historii, při níž se po odlehčení veškeré přetvoření vrátí do původního stavu. Na rozdíl od plasticity nebo tečení nemá vnitřní proměnné reprezentující stav (například plastické nebo viskózní přetvoření) a napětí je jednoznačně určeno pouze aktuálním přetvořením.

V oblasti malých deformací se používá Cauchyho napětí \(\boldsymbol{\sigma}\) a infinitesimální přetvoření \(\boldsymbol{\varepsilon}\); v oblasti konečných deformací (úlohy zahrnující velké rotace, avšak s malým samotným přetvořením) se používá druhé Piolovo-Kirchhoffovo napětí \(\boldsymbol{S}\) a Greenovo-Lagrangeovo přetvoření \(\boldsymbol{E}\) (St.Venantův-Kirchhoffův materiál).

Konstitutivní zákon

Izotropní lineárně elastický materiál

V oblasti malých deformací je izotropní Hookeův zákon vyjádřen pomocí Lamého konstant \(\lambda, \mu\) jako

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Ve složkovém zápisu,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

a dvojitá kontrakce s přetvořením dává \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Lamého konstanty souvisejí s Youngovým modulem \(E\) a Poissonovým číslem \(\nu\) následovně:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Ve Voigtově zápisu se vztah mezi vektorem přetvoření \(\hat{\varepsilon}\) a vektorem napětí \(\hat{\sigma}\) zapisuje jako \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) a trojrozměrná materiálová matice \(D\) je

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Tato maticová reprezentace se používá v implementaci.

Ortotropní lineárně elastický materiál

Pro materiály, jejichž elastické konstanty se liší podle směru hlavních os, se používá ortotropní model s devíti nezávislými konstantami: Youngovy moduly ve směrech hlavních os \(E_1, E_2, E_3\), Poissonova čísla mezi hlavními osami \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) a moduly pružnosti ve smyku \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Explicitní tvar matice \(D\) viz standardní literatura.

Oblast konečných deformací: St.Venantův-Kirchhoffův materiál

Pro úlohy zahrnující velké rotace, avšak s malým samotným přetvořením, se používá St.Venantův-Kirchhoffův materiál jako lineárně elastický zákon vztahující druhé Piolovo-Kirchhoffovo napětí \(\boldsymbol{S}\) a Greenovo-Lagrangeovo přetvoření \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Definice Lamého konstant \(\lambda, \mu\) jsou stejné jako v případě malých deformací. Protože se však liší definice dvojice napětí–přetvoření, jde o jiný konstitutivní zákon než Hookeův zákon pro malé deformace.

Hypoelastický materiál

V metodě Updated Lagrange se používá hypoelastický materiál, který uplatňuje lineárně elastický zákon mezi Jaumannovou rychlostí relativního Kirchhoffova tenzoru napětí \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) a tenzorem rychlosti deformace \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Také zde je definice \(\boldsymbol{C}\) pomocí Lamého konstant stejná jako výše, avšak protože se dvojice napětí–přetvoření liší, jde o jiný konstitutivní zákon. Podrobnosti o aktualizaci \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) postupem časové integrace (dopředná Eulerova integrace a aproximace centrální diferencí) viz tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Redukce pro dvourozměrnou analýzu a skořepinové prvky

Rovinné napětí (\(\sigma_{33} = 0\))

Pro rovinné napětí, které reprezentuje zatížení tenkých desek a skořepin, se předpokládá \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), mimorovinná složka přetvoření \(\varepsilon_{33}\) se algebraicky eliminuje a použije se matice \(D\):

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Rovinné přetvoření (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Pro rovinné přetvoření, které reprezentuje průřez dlouhé konstrukce omezené ve směru tloušťky, se předpokládá \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Osová symetrie

Ve válcových souřadnicích \((r, \theta, z)\) se v osově symetrické analýze řeší úlohy rovnoměrné ve směru \(\theta\); zachovávají se čtyři složky \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) a \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) a

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

se získá.

Skořepinové prvky (rovinné napětí + příčný smyk)

U skořepinových prvků se napětí v rovině považuje za rovinné napětí a pro složky příčného smykového přetvoření \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) se zavádí korekční faktor smyku \(\kappa\) (obvykle \(\kappa = 5/6\)) a používá se \(\kappa\, G\). Podrobnou formulaci jednotlivých prvků viz Pokročilé formulace prvků. Specifikace v části funkcí 03_material, že „skořepinové prvky podporují pouze lineární elasticitu“, vychází z tohoto zjednodušení, při němž se stav v rovině považuje za rovinné napětí.

Teplotní závislost

Youngův modul \(E\), Poissonovo číslo \(\nu\) a součinitel lineární roztažnosti \(\alpha\) se obecně zadávají jako funkce teploty \(T\). Ve FrontISTR se zadávají hodnoty pro konečnou posloupnost teplotních bodů \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) a hodnota při teplotě \(T\) během výpočtu se určí lineární interpolací mezi sousedními body. Pro teploty mimo rozsah (\(T < T_1\) nebo \(T > T_n\)) se pro extrapolaci použije hodnota nejbližšího koncového bodu, \(T_1\) nebo \(T_n\) (konstantní extrapolace).

Teplotní závislost tepelných vlastností a vlastností vedení tepla (hustota, měrná tepelná kapacita a tepelná vodivost) viz Tepelné vlastnosti. Pravidla interpolace jsou pro tyto vlastnosti společná.

Související témata

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status