Přeskočit obsah

Rámec přírůstkové analýzy

Potřeba přírůstkové analýzy

Jak bylo popsáno výše, při analýze problémů malých deformací lze provést analýzu metodou konečných prvků tak, že se použije princip virtuální práce, který je ekvivalentní základním rovnicím, například rovnicím rovnováhy, a tato rovnice se diskretizuje pomocí konečných prvků. Stejný základní princip virtuální práce se používá také při analýze problémů konečných deformací zahrnujících velké deformace konstrukcí.

U problémů konečných deformací se však rovnice principu virtuální práce stává nelineární vzhledem k posunutí, i když se předpokládá materiálová linearita. Pro řešení nelineárních rovnic se obecně provádějí iterační výpočty pomocí iterační metody.

Při těchto iteračních výpočtech se používá metoda přírůstkové analýzy, při níž se výpočet provádí po částech pro malé přírůstky zatížení a přírůstky se sčítají až do dosažení konečného deformovaného stavu. Při předpokladu problému malých deformací se při definici přetvoření a napětí nijak zvlášť nerozlišuje mezi konfigurací před deformací a po deformaci. Jinými slovy, při předpokladu malých deformací nezáleží na tom, zda je konfigurací použitou k popisu základních rovnic konfigurace před deformací nebo po deformaci.

Při přírůstkové analýze problému konečných deformací se formulace liší podle toho, zda se za referenční konfiguraci zvolí počáteční konfigurace, nebo konfigurace na začátku přírůstku. První se nazývá metoda celkové Lagrangeovy formulace a druhá metoda aktualizované Lagrangeovy formulace. Podrobnosti viz odkazy na konci kapitoly a související materiály.

Výchozí rovnice: princip virtuální práce v čase \(t'\)

Uvažujme přírůstkovou analýzu, v níž je stav do času \(t\) znám a stav v čase \(t' = t + \Delta t\) neznámý (viz obrázek 2.2.1). Rovnice rovnováhy, okrajové podmínky a princip virtuální práce v čase \(t'\) (vyjádřený v aktuální konfiguraci pomocí Cauchyho napětí \(^{t'}\sigma\) a lineární části Almansiho přetvoření \(^{t'} A_{(L)}\)) jsou uvedeny v části Princip virtuální práce.

Schéma přírůstkové analýzy

Obrázek 2.2.1 Schéma přírůstkové analýzy

Protože je však tato výchozí rovnice zapsána v (neznámé) konfiguraci v čase \(t'\), skutečný postup řešení zvolí jako referenční konfiguraci buď počáteční konfiguraci \(V\) v čase \(0\), nebo aktuální konfiguraci \(^{t'} v\) v čase \(t\), přepíše rovnici do přírůstkového tvaru a poté ji řeší:

  • Metoda celkové Lagrangeovy formulace — Používá počáteční konfiguraci \(V\) jako referenci. Používá se druhé Piola-Kirchhoffovo napětí \(\boldsymbol{S}\) a Green-Lagrangeovo přetvoření \(\boldsymbol{E}\).
  • Metoda aktualizované Lagrangeovy formulace — Používá aktuální konfiguraci \(^{t}v\) na začátku přírůstku jako referenci. Používá se Cauchyho napětí \(\boldsymbol{\sigma}\) a lineární část Almansiho přetvoření \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

Pro prostorovou diskretizaci obou formulací (matice B a vektor vnitřních sil) viz Diskretizace vnitřní virtuální práce; pro linearizaci a sestavení tečné tuhosti viz Tečná matice tuhosti.

Související témata

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status