Přeskočit obsah

Prostorové derivace tvarových funkcí

Tvarové funkce \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) zavedené v části Tvarové funkce a aproximace metodou konečných prvků jsou dány jako funkce přirozených souřadnic \(\boldsymbol{r}\), tedy lokálních souřadnic prvku. Na druhé straně integrandy ve slabé formě prostřednictvím vztahu mezi přetvořením a posunutím obsahují parciální derivace podle fyzikálních souřadnic (referenční konfigurace \(\boldsymbol{X}\) nebo aktuální konfigurace \(\boldsymbol{x}\)), konkrétně \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) nebo \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Tato část uspořádává postup výpočtu těchto prostorových derivací tvarových funkcí ze souřadnic uzlů prvku a derivací podle přirozených souřadnic.

Vyjádření prostorových derivací pomocí řetězového pravidla

Použitím řetězového pravidla na interpolační vztah \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (předchozí část) a s využitím Jacobiho matice \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) zobrazení z přirozených do fyzikálních souřadnic dostaneme

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Zde jsou \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) a \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) matice, v nichž řádek \(\alpha\) představuje vektor parciálních derivací pro uzel \(\alpha\); každá z nich je matice rozměru \(n_e \times 3\).

Sestavení Jacobiho matice

Derivací interpolačního vztahu podle \(\boldsymbol{r}\) dostaneme

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Jacobiho matici lze tedy sestavit přímo ze souřadnic uzlů prvku \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) a derivací podle přirozených souřadnic \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Derivace podle přirozených souřadnic jsou určeny funkčním tvarem tvarových funkcí a jsou předem implementovány pro každý typ prvku.

Determinant Jacobiho matice \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) se používá při numerické integraci k transformaci objemového elementu podle vztahu \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Pokud determinant nabude hodnoty \(0\), prvek je degenerovaný a výpočet selže.

Postup výpočtu

Z výše uvedeného odvození lze výpočet prostorových derivací \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) rozdělit do následujících čtyř kroků.

  1. Výpočet derivací podle přirozených souřadnic: Ze zadaného typu prvku a přirozených souřadnic \(\boldsymbol{r}\) vyhodnocovaného bodu vypočtěte matici derivací podle přirozených souřadnic \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Protože se funkční tvar tvarových funkcí liší podle typu prvku, postup se větví podle typu prvku.
  2. Výpočet Jacobiho matice: Ze souřadnic uzlů prvku \(\boldsymbol{X}^e\) a \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) sestavte podle rovnice v předchozí části Jacobiho matici \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\).
  3. Výpočet inverzní matice a determinantu: Vypočtěte inverzní matici \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) a determinant Jacobiho matice. Determinant se používá jako váha při numerické integraci.
  4. Výpočet prostorových derivací: Z \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) a \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) získejte jejich součinem prostorové derivace \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\).

Tyto čtyři kroky se větví podle typu prvku a prostorové dimenze (dvourozměrné nebo trojrozměrné), celkový postup je však společný.

Společné zpracování referenční a aktuální konfigurace

Výše uvedený postup lze použít také pouhou náhradou \(\boldsymbol{X}^e\) aktuálními souřadnicemi uzlů \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\), čímž získáme prostorové derivace \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) v aktuální konfiguraci. Tentýž postup lze tedy sdílet mezi formulacemi Total Lagrangian a Updated Lagrangian pouze přepnutím vstupních souřadnic uzlů.

Související témata

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status