Gå till innehållet

Formfunktioners rumsderivator

Formfunktionerna \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) som introducerades i Formfunktioner och finita element-approximation ges som funktioner av de naturliga koordinaterna \(\boldsymbol{r}\), vilka är elementets lokala koordinater. Integranderna i den svaga formen innehåller däremot, genom töjnings-förskjutningsrelationen, partiella derivator med avseende på de fysikaliska koordinaterna (referenskonfigurationen \(\boldsymbol{X}\) eller den aktuella konfigurationen \(\boldsymbol{x}\)), det vill säga \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) eller \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Detta avsnitt sammanställer proceduren för att beräkna dessa rumsderivator av formfunktionerna från elementets nodkoordinater och derivatorna med avseende på naturliga koordinater.

Uttryck för rumsderivator med kedjeregeln

Om kedjeregeln tillämpas på interpolationsformeln \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (föregående avsnitt) och Jacobimatrisen \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) för avbildningen från naturliga koordinater till fysikaliska koordinater används, erhålls

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Här är \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) och \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) matriser där rad \(\alpha\) representerar den partiella derivatvektorn för nod \(\alpha\); vardera är en \(n_e \times 3\)-matris.

Konstruktion av Jacobimatrisen

Partiell derivering av interpolationsformeln med avseende på \(\boldsymbol{r}\) ger

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Jacobimatrisen kan således konstrueras direkt från elementets nodkoordinater \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) och derivatorna med avseende på naturliga koordinater \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Derivatorna med avseende på naturliga koordinater bestäms av formfunktionernas funktionella form och är implementerade i förväg för varje elementtyp.

Determinanten för Jacobimatrisen \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) används vid numerisk integration för att transformera volymelementet enligt \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Om determinanten blir \(0\) är elementet degenererat och beräkningen misslyckas.

Beräkningsflöde

Utifrån härledningen ovan kan beräkningen av rumsderivatorna \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) delas upp i följande fyra steg.

  1. Beräkna derivator med avseende på naturliga koordinater: Med elementtypen och de naturliga koordinaterna \(\boldsymbol{r}\) för utvärderingspunkten som indata beräknas derivatmatrisen \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Eftersom formfunktionernas funktionella form skiljer sig mellan elementtyper förgrenas behandlingen efter elementtyp.
  2. Beräkna Jacobimatrisen: Från elementets nodkoordinater \(\boldsymbol{X}^e\) och \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) sammanställs Jacobimatrisen \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) med ekvationen i föregående avsnitt.
  3. Beräkna invers matris och determinant: Beräkna inversen \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) och determinanten för Jacobimatrisen. Determinanten används i viktningen vid numerisk integration.
  4. Beräkna rumsderivator: Från \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) och \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) erhålls rumsderivatorna \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) som deras produkt.

Dessa fyra steg förgrenas efter elementtyp och rumsdimension (två eller tre dimensioner), men det övergripande flödet är gemensamt.

Gemensam behandling av referens- och aktuell konfiguration

Proceduren ovan kan även tillämpas genom att helt enkelt ersätta \(\boldsymbol{X}^e\) med de aktuella nodkoordinaterna \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) för att erhålla rumsderivatorna \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) i den aktuella konfigurationen. Samma procedur kan alltså delas mellan Total Lagrangian- och Updated Lagrangian-formuleringarna genom att endast byta nodkoordinaterna som ges som indata.

Relaterade ämnen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status