Rörelse, deformation och töjning¶

Referenskonfiguration och aktuell konfiguration¶

Definition av konfigurationer¶

För att skilja vilken form vid en viss tidpunkt som används som grund för beskrivningen av fysikaliska storheter används två konfigurationer i denna manual.

Referenskonfiguration: den odeformerade formen vid analysens början (tid \(0\)), även kallad initialkonfiguration. En punkt i referenskonfigurationen representeras av materialkoordinaten \(\boldsymbol{X}\), med volym \(V\) och yta \(S\).
Aktuell konfiguration: den deformerade formen vid tiden \(t\). En punkt i den aktuella konfigurationen representeras av rumsliga koordinaten \(\boldsymbol{x}\), med volym \(v\) och yta \(s\).

Rörelsen representeras som en avbildning mellan dessa två konfigurationer, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), och förskjutningen definieras som \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Konfigurationsberoende notation (versaler/gemener)¶

Symbolens skiftläge skiljer vilken konfiguration en fysikalisk storhet tillhör.

Storheter som hör till referenskonfigurationen skrivs med versaler (till exempel \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Storheter som hör till den aktuella konfigurationen skrivs med gemener (till exempel \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Storheter som spänner över båda konfigurationerna, exempelvis första Piola-Kirchhoff-spänningen \(\boldsymbol{P}\), använder vedertagen notation och identifieras uttryckligen i texten vid behov.
I teorin för små deformationer försvinner skillnaden mellan de två konfigurationerna, och därför används endast gemena symboler (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Gradienter i referenskonfigurationen och den aktuella konfigurationen¶

Notation och innebörd skiljer sig beroende på med avseende på vilken konfiguration den rumsliga derivatan tas.

Gradient i referenskonfigurationen \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradient med avseende på materialkoordinater. Exempel: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradient i aktuell konfiguration \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradient med avseende på rumsliga koordinater. Exempel: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

De är relaterade genom \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). För konventionen för tidsderivator (materiell tidsderivata \(\dot{(\cdot)}\)), se Tensornotation och matematiska grunder.

Beskrivning av rörelse¶

Rörelseavbildning och materiell/rumslig beskrivning¶

Om ett kontinuum betraktas som en samling materialpunkter märkta med sina positioner \(\boldsymbol{X}\) vid tiden \(0\), representeras rörelsen av en avbildning \(\phi\) som tilldelar varje materialpunkt \(\boldsymbol{X}\) dess position \(\boldsymbol{x}\) vid tiden \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Med konventionen att referenskonfigurationen är initialkonfigurationen gäller \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Två beskrivningar skiljs åt beroende på valet av oberoende variabler.

Materiell beskrivning (Lagrange-beskrivning): representerar fysikaliska storheter som funktioner av \((\boldsymbol{X}, t)\). Inom fastkroppsmekanik är detta ett naturligt val eftersom referenskonfigurationen ges som en fixerad form.
Rumslig beskrivning (Euler-beskrivning): representerar fysikaliska storheter som funktioner av \((\boldsymbol{x}, t)\). Detta är standardbeskrivningen inom strömningsmekanik.

FrontISTR:s strukturanalys bygger i grunden på den materiella beskrivningen, men updated-Lagrange-metoden använder även storheter i den rumsliga beskrivningen eftersom den aktuella konfigurationen används som ny referenskonfiguration.

Förskjutning, hastighet och acceleration¶

Som angavs i föregående avsnitt definieras förskjutningen \(\boldsymbol{u}\) av \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Inget antagande görs om dess storlek, så finit deformation omfattas. Hastighets- och accelerationsvektorerna definieras som materiella tidsderivator av \(\boldsymbol{u}\) medan materialpunkten hålls fixerad:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Dessa ekvationer definierar hastigheten och accelerationen.

Deformationsgradient och deformationstensorer¶

Deformationsgradienttensor¶

Den grundläggande storheten i kontinuummekanik vid finit deformation är deformationsgradienttensorn \(\boldsymbol{F}\). Den är den linjära avbildning som överför ett infinitesimalt linjeelement \(d\boldsymbol{X}\) i referenskonfigurationen till ett infinitesimalt linjeelement \(d\boldsymbol{x}\) i den aktuella konfigurationen och definieras som rörelseavbildningens gradient med avseende på materialkoordinater:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Med denna definition (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)) gäller \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) i det odeformerade tillståndet. \(\boldsymbol{F}\) används i stor utsträckning för att definiera töjning och spänning samt för att transformera fysikaliska storheter mellan konfigurationer.

Volymförhållande¶

Förhållandet mellan en infinitesimal volym \(dV\) i referenskonfigurationen och motsvarande infinitesimala volym \(dv\) i den aktuella konfigurationen kallas volymförhållandet \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Kontinuumets inverterbarhet kräver \(J > 0\). Massans bevarande uttrycks som \(\rho_0 = J\rho\).

Höger och vänster Cauchy-Green-deformationstensor¶

Eftersom deformationsgradienten \(\boldsymbol{F}\) innehåller stel kroppsrotation används storheter där den stela kroppsrotationen har eliminerats för att mäta själva deformationen. Höger Cauchy-Green-deformationstensor \(\boldsymbol{C}\) (referenskonfigurationen) och vänster Cauchy-Green-deformationstensor \(\boldsymbol{b}\) (aktuell konfiguration) definieras som

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Båda är symmetriska tensorer och har samma egenvärden (kvadraterna på huvudsträckningarna). Huvudinvarianterna i hyperelastiska töjningsenergifunktioner uttrycks med dessa tensorer.

Töjningstensorer¶

Green-Lagrange-töjningstensor¶

Som töjningsmått refererat till referenskonfigurationen definieras Green-Lagrange-töjningstensor \(\boldsymbol{E}\) av

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Det är en symmetrisk tensor som representerar förändringen av skalärprodukten mellan infinitesimala vektorer i referenskonfigurationen, är invariant under stel kroppsrotation och uppfyller \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) i det odeformerade tillståndet. Med \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) fås

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Detta uttrycker töjningen som summan av första- och andra ordningens termer i förskjutningsgradienten; termen av andra ordningen representerar geometrisk icke-linjäritet. I total-Lagrange-metoden används det som det arbetskonjugerade paret \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Almansi-töjningstensor¶

Som töjningsmått refererat till den aktuella konfigurationen definieras Almansi-töjningstensor \(\boldsymbol{e}\) av

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Den är relaterad till Green-Lagrange-töjningen genom \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Infinitesimal töjningstensor¶

När förskjutningsgradienten är liten (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)) kan andra ordningens term i Green-Lagrange-töjningen försummas. Eftersom skillnaden mellan de två konfigurationerna då försvinner reduceras den till den infinitesimala töjningstensor \(\boldsymbol{\varepsilon}\), där gradienten skrivs i rumsliga koordinater:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR använder detta töjningsmått för linjär statisk analys, modalanalys, frekvenssvarsanalys och linjär dynamisk analys. Analys med finit deformation använder \(\boldsymbol{E}\) i total-Lagrange-metoden och deformationshastighetstensor \(\boldsymbol{D}\) refererad till den aktuella konfigurationen i updated-Lagrange-metoden.